एक अंश ( भिन्न) (लैटिन फ्रैक्टस से व्युत्पत्ति ,"टूटा हुआ") एक पूरे के एक हिस्से का प्रतिनिधित्व करता है।

या अधिक का आम तौर पर, यह बराबर भागों की किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करता है।

जब रोज़मर्रा की अंग्रेजी में बोली जाती है, तो एक अंश बताता है कि एक निश्चित आकार के कितने हिस्से हैं।

उदाहरण के लिए, आधा, आठ-पाँचवाँ, तीन-चौथाई।

एक सामान्य , अशिष्ट , या साधारण भिन्न (उदाहरण:

${\tfrac {1}{2}}$ तथा ${\tfrac {17}{3}}$ ) में एक रेखा के ऊपर प्रदर्शित एक अंश (या 1 ⁄ 2 जैसे स्लैश से पहले ), और एक गैर-शून्य भाजक होता है।

जो उस पंक्ति के नीचे (या बाद में) प्रदर्शित होता है। अंश और हर का उपयोग उन भिन्नों में भी किया जाता है जो सामान्य नहीं हैं , जिनमें मिश्रित भिन्न, जटिल भिन्न और मिश्रित अंक शामिल हैं।

एक चौथाई (एक चौथाई) वाला (केक-Cack) निकाला गया।

शेष तीन चौथाई को बिंदीदार रेखाओं द्वारा दिखाया गया है और अंश द्वारा लेबल किया गया है।14.

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धनात्मक उभयनिष्ठ भिन्नों में अंश और हर प्राकृत संख्याएँ हैं ।

अंश कई समान भागों का प्रतिनिधित्व करता है, और भाजक के रूप को इंगित करता है कि उनमें से कितने भाग एक इकाई या संपूर्ण बनाते हैं।

(हर शून्य नहीं हो सकता, क्योंकि शून्य भाग कभी भी पूर्ण नहीं बना सकते। उदाहरण के लिए, भिन्न में (3/4), में अंश 3 को इंगित करता है कि भिन्न 3 बराबर भागों का प्रतिनिधित्व करता है, और हर 4 को इंगित करता है कि 4 भाग एक पूर्ण बनाते हैं। दाईं ओर का चित्र दिखाता है 3/4 एक केक का।)

एक सामान्य अंश एक अंक है ; जो एक परिमेय संख्या का प्रतिनिधित्व करता है ।

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उसी संख्या को दशमलव , प्रतिशदर्शाया जा सकता है ।

उदाहरण के लिए, 0.01, 1% और 10 ⁻² सभी भिन्न 1/100 के बराबर हैं।

एक पूर्णांक को एक के निहित भाजक( हर) के रूप में माना जा सकता है (उदाहरण के लिए, 7 बराबर 7/1)।

भिन्नों के लिए अन्य उपयोग( अनुपात) और (विभाजन) का प्रतिनिधित्व करना है ।

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इस प्रकार भिन्न- 3/4अनुपात 3:4 (भाग P -(part) का संपूर्ण Q. (quotient) से अनुपात), और विभाजन 3 ÷ 4 (तीन को चार से विभाजित) के लिए भी इस्तेमाल किया जा सकता है।

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गैर-शून्य भाजक नियम, जो एक अंश के रूप में एक विभाजन का प्रतिनिधित्व करते समय लागू होता है, इस नियम का एक उदाहरण है कि शून्य से विभाजन अपरिभाषित है। अर्थात्‌ (हर) शून्य नहींं हो सकता है ।

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हम ऋणात्मक भिन्न भी लिख सकते हैं, जो एक धनात्मक भिन्न के विपरीत रूप को निरूपित करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि 1/2 आधे डॉलर के लाभ का प्रतिनिधित्व करता है।

तो −1/2आधा डॉलर का नुकसान दर्शाता है। हस्ताक्षरित संख्याओं के विभाजन के नियमों के कारण (जो आंशिक रूप से बताता है कि ऋणात्मक को धनात्मक से विभाजित करने पर ऋणात्मक होता है), -1/2, -1/2 तथा 1/-2सभी एक ही अंश का प्रतिनिधित्व करते हैं - ऋणात्मक आधा।

और क्योंकि एक नकारात्मक से विभाजित एक नकारात्मक एक सकारात्मक पैदा करता है,-1/-2 सकारात्मक आधे का प्रतिनिधित्व करता है।

(गणित में सभी संख्याओं का समुच्चय जिस रूप में व्यक्त किया जा सकता है। ए/बी, जहाँ a और b पूर्णांक हैं और b शून्य नहीं है,)

(परिमेय संख्याओं का समुच्चय कहलाता है और इसे प्रतीकQ= Quotient द्वारा प्रदर्शित किया जाता है , जो Quotient- भागफल भजनफल को दर्शाता है ।)

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एक संख्या एक परिमेय संख्या होती है, ठीक उसी समय जब इसे उस रूप में लिखा जा सकता है (अर्थात, एक सामान्य अंश (Part)के रूप में)। हालाँकि, भिन्न शब्द का उपयोग गणितीय अभिव्यक्तियों का वर्णन करने के लिए भी किया जा सकता है जो परिमेय संख्याएँ नहीं हैं। इन उपयोगों के उदाहरणों में बीजीय भिन्न (बीजीय व्यंजकों के भागफल) और अपरिमेय संख्या वाले व्यंजक शामिल हैं।

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परिमेय=जो नापा या तोला जा सके। नापने या तोलने के योग्य।

जैसे कि ${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ (देखें 2 का वर्गमूल ) तथा मैं/4( प्रमाण देखें कि अपरिमेय है )।

शब्दावली-

एक अंश में, वर्णित किए जा रहे समान भागों की संख्या अंश है ( लैटिन अंकगणित , "काउंटर" या "नंबर" से), और भागों का प्रकार या विविधता हर है ( लैटिन- dēnōminator से , "वह चीज जो नाम या नामित करती है ")। एक उदाहरण के रूप में, भिन्न8/5आठ भागों की मात्रा है, जिनमें से प्रत्येक "पांचवें" नाम के प्रकार का है। विभाजन के संदर्भ में , अंश लाभांश से मेल खाता है , और भाजक भाजक से मेल खाता है ।

अनौपचारिक रूप से, अंश और हर को केवल प्लेसमेंट द्वारा अलग किया जा सकता है, लेकिन औपचारिक संदर्भों में वे आमतौर पर भिन्न बार द्वारा अलग किए जाते हैं । भिन्न बार क्षैतिज हो सकता है (जैसा कि in .)1/3), तिरछा (जैसा कि 2/5 में), या विकर्ण (जैसा कि in . में है) 4 / 9 )।

ये निशान क्रमशः क्षैतिज पट्टी के रूप में जाने जाते हैं; वर्जिन, स्लैश ( यूएस ), या स्ट्रोक ( यूके ); और भिन्न बार, सॉलिडस,^कया भिन्न स्लैश . में टाइपोग्राफी , खड़ी खड़ी अंशों को "में जाना जाता है एन " या " अखरोट अंशों", और "के रूप में विकर्ण वाले उन्हें " या "मटन अंशों", पर एक एकल अंक अंश और हर के साथ एक अंश पर है या नहीं इसके आधार एक संकीर्ण एन वर्ग, या एक व्यापक एम वर्गका अनुपात।पारंपरिक टाइपफाउंडिंग में , एक प्रकार का टुकड़ा जिसमें एक पूर्ण अंश होता है (जैसे1/2) को "केस भिन्न" के रूप में जाना जाता था, जबकि भिन्न के केवल एक भाग का प्रतिनिधित्व करने वालों को "टुकड़ा भिन्न" कहा जाता था।

अंग्रेजी भिन्नों के हरों को आमतौर पर क्रमसूचक संख्याओं के रूप में व्यक्त किया जाता है , बहुवचन में यदि अंश 1 नहीं है। (उदाहरण के लिए,2/5 तथा 3/5दोनों को "पांचवें" की संख्या के रूप में पढ़ा जाता है।) अपवादों में हर 2 शामिल है, जिसे हमेशा "आधा" या "आधा" पढ़ा जाता है, हर 4, जिसे वैकल्पिक रूप से "तिमाही"/"तिमाही" या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। चौथा"/"चौथा", और हर 100, जिसे वैकल्पिक रूप से "सौवां"/"सौवां" या " प्रतिशत " के रूप में व्यक्त किया जा सकता है ।

जब हर 1 होता है, तो इसे "पूर्ण" के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, लेकिन आमतौर पर इसे अनदेखा कर दिया जाता है, अंश को पूर्ण संख्या के रूप में पढ़ा जाता है।

उदाहरण के लिए,3/1"तीन पूर्ण" या केवल "तीन" के रूप में वर्णित किया जा सकता है। जब अंश 1 होता है, तो इसे छोड़ा जा सकता है (जैसे "दसवें" या "प्रत्येक तिमाही")।

पूरे अंश को एक एकल रचना के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिस स्थिति में इसे हाइफ़न किया जाता है, या एक अंश के साथ कई अंशों के रूप में, जिस स्थिति में वे नहीं होते हैं।

(उदाहरण के लिए, "दो-पांचवां" अंश है2/5 और "दो पांचवें" एक ही अंश है जिसे 2 उदाहरणों के रूप में समझा जाता है 1/5।) विशेषण के रूप में उपयोग किए जाने पर भिन्नों को हमेशा हाइफ़न किया जाना चाहिए।

वैकल्पिक रूप से, एक अंश को हर पर "ओवर" अंश के रूप में पढ़कर वर्णित किया जा सकता है, जिसमें हर को कार्डिनल-Coordinal (समन्वयक) नंबर के रूप में व्यक्त किया जाता है ।

(उदाहरण के लिए,3/1इसे "तीन बटा एक" के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।) "ओवर" शब्द का प्रयोग सॉलिडस फ्रैक्शंस के मामले में भी किया जाता है, जहां संख्याओं को स्लैश मार्क के बाएं और दाएं रखा जाता है ।

(उदाहरण के लिए, 1/2 पढ़ा जा सकता है "एक से डेढ़", "एक आधा", या "एक से दो से अधिक"।)

बड़े हरों कि कर रहे हैं के साथ भिन्न नहीं (दस की घात अक्सर इस फैशन में लगाया जाता है जैसे,1/117 "एक सौ सत्रह से अधिक") के रूप में, जबकि दस से विभाज्य हर वाले को आम तौर पर सामान्य क्रम में पढ़ा जाता है (उदाहरण के लिए, 6/1000000 "छह-मिलियनवां", "छह मिलियनवां", या "छः दस लाखवां") के रूप में।

"भिन्नो के रूप"-

सरल, सामान्य, या अनुचित अंश -

एक साधारण अंश (जिसे सामान्य अंश के रूप में भी जाना जाता है , जहां अशिष्ट "सामान्य" के लिए लैटिन है) एक परिमेय संख्या है जिसे a / b या के रूप में लिखा जाता है। ${\tfrac {a}{b}}$ , जहां a और b दोनों पूर्णांक हैं ।

अन्य भिन्नों की तरह, हर ( बी ) शून्य नहीं हो सकता। उदाहरणों में शामिल ${\tfrac {1}{2}}$ , $-{\tfrac {8}{5}}$ , ${\tfrac {-8}{5}}$ , तथा ${\tfrac {8}{-5}}$ . इस शब्द का इस्तेमाल मूल रूप से खगोल विज्ञान में इस्तेमाल किए जाने वाले सेक्सजेसिमल अंश से इस प्रकार के अंश को अलग करने के लिए किया गया था ।

सामान्य भिन्न सकारात्मक या नकारात्मक हो सकते हैं, और वे उचित या अनुचित हो सकते हैं (नीचे देखें)।

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मिश्रित भिन्न, सम्मिश्र भिन्न, मिश्रित अंक और दशमलव (नीचे देखें)

सामान्य भिन्न नहीं हैं; हालांकि, जब तक तर्कहीन न हों, उनका मूल्यांकन एक सामान्य अंश में किया जा सकता है।

एक इकाई अंश 1 के अंश के साथ एक सामान्य अंश है (उदाहरण के लिए, ${\tfrac {1}{7}}$ ) इकाई भिन्नों को ऋणात्मक घातांकों का उपयोग करके भी व्यक्त किया जा सकता है, जैसा कि 2 ^{-1 में है} , जो 1/2 का प्रतिनिधित्व करता है, और 2 ^-2 , जो 1/(2 ² ) या 1/4 का प्रतिनिधित्व करता है ।
एक डाईडिक अंश एक सामान्य अंश है जिसमें हर दो की शक्ति है , उदाहरण के लिए ${\tfrac {1}{8}}={\tfrac {1}{2^{3}}}$ .

'उचित और अनुचित भिन्न"

सामान्य भिन्नों को उचित या अनुचित के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है। जब अंश और हर दोनों धनात्मक होते हैं, तो अंश को उचित कहा जाता है !

यदि अंश हर से कम हो, और अन्यथा अनुचित हो। एक "अनुचित अंश" की अवधारणा एक देर से विकास है,

इस तथ्य से प्राप्त शब्दावली के साथ कि "अंश" का अर्थ "एक टुकड़ा" है, इसलिए एक उचित अंश 1 से कम होना चाहिए।

यह 17 वीं शताब्दी की पाठ्यपुस्तक द ग्राउंड ऑफ आर्ट्स में समझाया गया था ।

सामान्य तौर पर, एक सामान्य भिन्न को एक उचित भिन्न कहा जाता है , यदि भिन्न का निरपेक्ष मान सख्ती से एक से कम हो-अर्थात, यदि भिन्न -1 से अधिक और 1 से कम हो। यह एक अनुचित भिन्न कहा जाता है , या कभी - कभी शीर्ष-भारी अंश ,यदि भिन्न का निरपेक्ष मान 1 से अधिक या उसके बराबर है। उचित भिन्नों के उदाहरण 2/3, −3/4, और 4/ हैं। 9, जबकि अनुचित भिन्नों के उदाहरण 9/4, −4/3 और 3/3 हैं।

(पारस्पापरिक और अदृश्य भाजक)

पारस्परिक एक अंश के अंश और हर विमर्श के साथ एक और अंश है। के पारस्परिक ${\tfrac {3}{7}}$ , उदाहरण के लिए, is ${\tfrac {7}{3}}$

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${\tfrac {7}{3}}$ .एक भिन्न और उसके व्युत्क्रम का गुणनफल 1 होता है, इसलिए व्युत्क्रम भिन्न का गुणनात्मक प्रतिलोम होता है।

एक उचित भिन्न का व्युत्क्रम अनुचित है, और एक अनुचित भिन्न का व्युत्क्रम 1 के बराबर नहीं है (अर्थात, अंश और हर बराबर नहीं हैं) एक उचित भिन्न है।

जब किसी भिन्न का अंश और हर बराबर हो (उदाहरण के लिए, ${\tfrac {7}{7}}$

, इसका मान 1 है, और इसलिए भिन्न अनुचित है। इसका व्युत्क्रम समान है और इसलिए 1 के बराबर और अनुचित भी है।

किसी भी पूर्णांक को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है जिसमें संख्या एक हर के रूप में होती है। उदाहरण के लिए, 17 को इस प्रकार लिखा जा सकता है ${\tfrac {17}{1}}$ ,जहां 1 को कभी-कभी अदृश्य हर के रूप में संदर्भित किया जाता है ।

इसलिए, शून्य को छोड़कर प्रत्येक भिन्न या पूर्णांक का एक व्युत्क्रम होता है। उदाहरण के लिए। 17 का व्युत्क्रम है ${\tfrac {1}{17}}$ .

"अनुपात-

एक अनुपात दो या अधिक संख्याओं है कि कभी कभी एक अंश के रूप में व्यक्त किया जा सकता है के बीच एक रिश्ता (सम्बन्ध) है।

.मद= लंबी लकीर जिसके नीचे लेखा लिखा जाता है। खाता। २. कार्य या कार्यालय का विभाग। सीगा। सरिश्ता। ३. खाता। जैसे,—इस मद में सौ रुपए खर्च हुए है।

आम तौर पर, कई मदों को समूहीकृत किया जाता है और अनुपात में तुलना की जाती है, प्रत्येक समूह के बीच संबंध को संख्यात्मक रूप से निर्दिष्ट किया जाता है।

अनुपात को "समूह 1 से समूह 2 ... से समूह n " के रूप में व्यक्त किया जाता है । उदाहरण के लिए, यदि किसी कार लॉट में 12 वाहन हैं, जिनमें से

2 सफेद हैं,
6 लाल हैं, और
4 पीले हैं,

तो लाल से सफेद से पीली कारों का अनुपात 6 से 2 से 4 है। पीली कारों का सफेद कारों से अनुपात 4 से 2 है और इसे 4:2 या 2:1 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

अनुपात अक्सर भिन्न में परिवर्तित हो जाता है जब इसे संपूर्ण के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जाता है।

उपरोक्त उदाहरण में, पीली कारों का लॉट पर मौजूद सभी कारों से अनुपात 4:12 या 1:3 है। हम इन अनुपातों को भिन्न में बदल सकते हैं, और कह सकते हैं कि4/12 कारों की या 1/3लॉट में कारों का रंग पीला है।

इसलिए, यदि कोई व्यक्ति यादृच्छिक रूप से लॉट पर एक कार चुनता है, तो तीन में से एक मौका या संभावना है कि यह पीला होगा।

(दशमलव भिन्न और प्रतिशत)

एक दशमलव भिन्न एक भिन्न है जिसका हर स्पष्ट रूप से नहीं दिया गया है, लेकिन इसे दस की पूर्णांक शक्ति माना जाता है। दशमलव अंशों को आमतौर पर दशमलव संकेतन का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है जिसमें निहित हर दशमलव विभाजक के दाईं ओर अंकों की संख्या से निर्धारित होता है ।

, जिसकी उपस्थिति (उदाहरण के लिए, एक अवधि, एक बढ़ी हुई अवधि (•), एक अल्पविराम) निर्भर करती है लोकेल (उदाहरण के लिए, दशमलव विभाजक देखें )।

इस प्रकार 0.75 के लिए अंश 75 है और निहित हर दूसरी शक्ति के लिए 10 है, अर्थात। 100, क्योंकि दशमलव विभाजक के दाईं ओर दो अंक हैं। 1 से अधिक दशमलव संख्याओं में (जैसे कि 3.75), भिन्नात्मक भाग संख्या का दशमलव के दाईं ओर के अंकों द्वारा व्यक्त किया जाता है (इस मामले में 0.75 के मान के साथ)।

3.75 को या तो अनुचित भिन्न, 375/100, या मिश्रित संख्या के रूप में लिखा जा सकता है, $3{\tfrac {75}{100}}$ .

दशमलव अंशों को भी नकारात्मक घातांक के साथ वैज्ञानिक संकेतन का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है , जैसे6.023 × 10 ⁻⁷ , जो 0.0000006023 को दर्शाता है।

NS10 ^{−7 के} हर का प्रतिनिधित्व करता है10 ⁷ . द्वारा विभाजित करना10 ⁷ दशमलव बिंदु को 7 स्थानों पर बाईं ओर ले जाता है।

दशमलव विभाजक के दाईं ओर असीम रूप से कई अंकों के साथ दशमलव अंश एक अनंत श्रृंखला का प्रतिनिधित्व करते हैं । उदाहरण के लिए,1/3 = 0.333... अनंत श्रृंखला 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ... का प्रतिनिधित्व करता है।

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एक अन्य प्रकार का अंश प्रतिशत है (लैटिन प्रतिशत सेंटम का अर्थ है "प्रति सौ", प्रतीक द्वारा दर्शाया गया%), जिसमें निहित हर हमेशा 100 होता है। इस प्रकार, 51% का अर्थ 51/100 है। 100 से अधिक या शून्य से कम के प्रतिशत को उसी तरह माना जाता है, उदा 311% 311/100 के बराबर, और −27% बराबर −27/100।

पर्मिल या पार्ट्स प्रति हजार (पीपीटी) की संबंधित अवधारणा में 1000 का एक निहित भाजक है, जबकि अधिक सामान्य भागों-प्रति अंकन , जैसा कि 75 भागों प्रति मिलियन (पीपीएम) में है, इसका मतलब है कि अनुपात 75/1,000,000 है।

क्या सामान्य भिन्न या दशमलव अंशों का उपयोग किया जाता है, यह अक्सर स्वाद और संदर्भ का विषय होता है।

सामान्य भिन्नों का उपयोग अक्सर तब किया जाता है जब हर अपेक्षाकृत छोटा होता है। द्वारा मानसिक गणना , यह आसान है गुणा 3/16 द्वारा 16 से अंश के दशमलव समकक्ष (0.1875) का उपयोग कर एक ही गणना करने के लिए।

और यह अधिक सटीक है15 को 1/3 से गुणा करना, उदाहरण के लिए, 15 को एक तिहाई के किसी भी दशमलव सन्निकटन से गुणा करना। मौद्रिक मूल्यों को आमतौर पर दशमलव अंश के रूप में व्यक्त किया जाता है जिसमें हर 100, यानी दो दशमलव के साथ, उदाहरण के लिए $ 3.75। हालांकि, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, पूर्व-दशमलव ब्रिटिश मुद्रा में, शिलिंग और पेंस को अक्सर एक अंश का रूप (लेकिन अर्थ नहीं) दिया जाता था, उदाहरण के लिए, उदाहरण के लिए 3/6 ("तीन और छह पढ़ें") जिसका अर्थ है 3 शिलिंग और 6 पेंस, और भिन्न 3/6 से कोई संबंध नहीं है।

(मिश्रित संख्या–

एक मिश्रित अंक (जिसे मिश्रित अंश या मिश्रित संख्या भी कहा जाता है ) एक गैर-शून्य पूर्णांक और एक उचित अंश (समान चिन्ह वाले) के योग का एक पारंपरिक संकेत है। यह मुख्य रूप से माप में प्रयोग किया जाता है: $2{\tfrac {3}{16}}$ इंच, उदाहरण के लिए। वैज्ञानिक माप लगभग हमेशा मिश्रित संख्याओं के बजाय दशमलव संकेतन का उपयोग करते हैं। योग एक दृश्यमान ऑपरेटर जैसे उपयुक्त "+" के उपयोग के बिना निहित है। उदाहरण के लिए, दो पूरे केक और दूसरे केक के तीन चौथाई के संदर्भ में, पूर्णांक भाग और केक के भिन्नात्मक भाग को दर्शाने वाले अंक एक दूसरे के बगल में इस प्रकार लिखे जाते हैं $2{\tfrac {3}{4}}$ स्पष्ट संकेतन के बजाय $2+{\tfrac {3}{4}}.$ नकारात्मक मिश्रित अंक, जैसे कि $-2{\tfrac {3}{4}}$ , की तरह व्यवहार कर रहे हैं $-(2+{\tfrac {3}{4}}).$ एक पूर्ण प्लस एक भाग के ऐसे किसी भी योग को विषम मात्राओं को जोड़ने के नियमों को लागू करके एक अनुचित अंश में परिवर्तित किया जा सकता है ।

यह परंपरा, औपचारिक रूप से, बीजगणित में संकेतन के विरोध में है, जहां आसन्न प्रतीक, एक स्पष्ट इन्फिक्स ऑपरेटर के बिना , एक उत्पाद को दर्शाते हैं। अभिव्यक्ति में ${\डिस्प्लेस्टाइल 2x}$ , "समझा" ऑपरेशन गुणन है। अगर ${\डिस्प्लेस्टाइल x}$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, उदाहरण के लिए, भिन्न ${\tfrac {3}{4}}$ , मिश्रित संख्या के प्रकटन से बचने के लिए, "समझे गए" गुणन को स्पष्ट गुणन द्वारा प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है।

जब गुणन का इरादा है, $2{\tfrac {b}{c}}$ के रूप में लिखा जा सकता है

2\cdot {\tfrac {b}{c}},\quad

या

\quad 2\times {\tfrac {b}{c}},\quad

या

\quad 2\left({\tfrac {b}{c}}\right),\;\ldots

एक अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में निम्नानुसार बदला जा सकता है:

यूक्लिडियन डिवीजन (शेष के साथ विभाजन) का उपयोग करके , अंश को हर से विभाजित करें। उदाहरण में, ${\tfrac {11}{4}}$ , 11 को 4 से भाग दें। 11 4 = 2 शेषफल 3।
भागफल (शेष) के बिना मिश्रित संख्या की पूरी संख्या हिस्सा बन जाता है। शेष भिन्नात्मक भाग का अंश बन जाता है। उदाहरण में, 2 पूर्ण संख्या वाला भाग है और 3 भिन्नात्मक भाग का अंश है।
नया हर अनुचित भिन्न के हर के समान है। उदाहरण में, यह 4 है। इस प्रकार ${\tfrac {11}{4}}=2{\tfrac {3}{4}}$ .

ऐतिहासिक धारणाएं संऐतिहासिक धारणायऐं:

मिस्र का अंश संपादित करें

एक मिस्री अंश विशिष्ट सकारात्मक इकाई अंशों का योग है, उदाहरण के लिए ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}$ . यह परिभाषा इस तथ्य से निकली है कि प्राचीन मिस्रियों ने . को छोड़कर सभी अंशों को व्यक्त किया था ${\tfrac {1}{2}}$ , ${\tfrac {2}{3}}$ तथा ${\tfrac {3}{4}}$ इस तरह से। प्रत्येक धनात्मक परिमेय संख्या को मिस्री भिन्न के रूप में विस्तारित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, ${\tfrac {5}{7}}$ के रूप में लिखा जा सकता है ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{21}}.$ किसी भी धनात्मक परिमेय संख्या को इकाई भिन्नों के योग के रूप में अपरिमित रूप से अनेक प्रकार से लिखा जा सकता है। लिखने के दो तरीके ${\tfrac {13}{17}}$ हैं ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{68}}$ तथा ${\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{68}}$ .

जटिल और यौगिक अंशसंपादित करें

एक जटिल भिन्न में , या तो अंश, या हर, या दोनों, एक भिन्न या मिश्रित संख्या होती है, ^[18]^[19] भिन्नों के विभाजन के अनुरूप। उदाहरण के लिए, ${\frac {\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{3}}}$ तथा ${\frac {12{\tfrac {3}{4}}}{26}}$ जटिल अंश हैं। एक जटिल भिन्न को एक साधारण भिन्न में कम करने के लिए, सबसे लंबी भिन्न रेखा को विभाजन का प्रतिनिधित्व करने के रूप में मानें। उदाहरण के लिए:

{\frac {\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{3}}}={\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {3}{1}} ={\tfrac {3}{2}}

{\frac {12{\tfrac {3}{4}}}{26}}=12{\tfrac {3}{4}}\cdot {\tfrac {1}{26}}={\ tfrac {12\cdot 4+3}{4}}\cdot {\tfrac {1}{26}}={\tfrac {51}{4}}\cdot {\tfrac {1}{26}}={ \tfrac {51}{104}}

{\frac {\tfrac {3}{2}}{5}}={\tfrac {3}{2}}\times {\tfrac {1}{5}}={\tfrac {3} {10}}

{\frac {8}{\tfrac {1}{3}}}=8\बार {\tfrac {3}{1}}=24.

यदि, एक जटिल अंश में, यह बताने का कोई अनूठा तरीका नहीं है कि कौन सी भिन्न रेखाएं प्राथमिकता लेती हैं, तो अस्पष्टता के कारण यह अभिव्यक्ति अनुचित रूप से बनाई गई है। तो 5/10/20/40 एक मान्य गणितीय अभिव्यक्ति नहीं है, क्योंकि कई संभावित व्याख्याओं के कारण, जैसे कि

5/(10/(20/40))={\frac {5}{10/{\tfrac {20}{40}}}}={\frac {1}{4}}\quad

या के रूप में

\quad (5/10)/(20/40)={\frac {\tfrac {5}{10}}{\tfrac {20}{40}}}=1

एक यौगिक अंश एक अंश का एक अंश, या शब्द के साथ जुड़ा हुआ अंशों की किसी भी संख्या है की , ^[18]^[19] भिन्न के गुणा करने के लिए इसी। एक मिश्रित भिन्न को एक साधारण भिन्न में कम करने के लिए, बस गुणा करें ( गुणा पर अनुभाग देखें )। उदाहरण के लिए, ${\tfrac {3}{4}}$ का ${\tfrac {5}{7}}$ एक मिश्रित भिन्न है, जो के अनुरूप है ${\tfrac {3}{4}}\times {\tfrac {5}{7}}={\tfrac {15}{28}}$ . यौगिक भिन्न और सम्मिश्र भिन्न शब्द निकट से संबंधित हैं और कभी-कभी एक का प्रयोग दूसरे के पर्याय के रूप में किया जाता है। (उदाहरण के लिए, यौगिक अंश ${\tfrac {3}{4}}\बार {\tfrac {5}{7}}$ जटिल अंश के बराबर है ${\tfrac {3/4}{7/5}}$ ।)

फिर भी, "जटिल अंश" और "यौगिक अंश" दोनों को पुराना ^[20] माना जा सकता है और अब इसका उपयोग बिना किसी परिभाषित तरीके से किया जाता है, आंशिक रूप से एक दूसरे के लिए समानार्थक रूप से भी लिया जाता है ^[21] या मिश्रित अंकों के लिए। ^[22] उन्होंने तकनीकी शब्दों के रूप में अपना अर्थ खो दिया है और "जटिल" और "यौगिक" विशेषताओं का उपयोग उनके "भागों से मिलकर" के हर दिन के अर्थ में किया जाता है।

अंशों के साथ अंकगणित +

पूर्ण संख्याओं की तरह, भिन्न क्रमविनिमेय , साहचर्य और वितरण नियमों का पालन करते हैं, और शून्य से विभाजन के विरुद्ध नियम का पालन करते हैं ।

समतुल्य भागसंपादित करें

किसी भिन्न के अंश और हर को समान (गैर-शून्य) संख्या से गुणा करने पर एक भिन्न प्राप्त होती है जो मूल भिन्न के बराबर होती है। यह सत्य है क्योंकि किसी भी अशून्य संख्या के लिए ${\डिस्प्लेस्टाइल एन}$ , अंश ${\tfrac {n}{n}}$ बराबरी ${\डिस्प्लेस्टाइल 1}$ . इसलिए से गुणा करना ${\tfrac {n}{n}}$ एक से गुणा करने के समान है, और किसी भी संख्या को एक से गुणा करने पर मूल संख्या के समान मान होता है। उदाहरण के तौर पर भिन्न से शुरू करें ${\tfrac {1}{2}}$ . जब अंश और हर दोनों को 2 से गुणा किया जाता है, तो परिणाम होता है ${\tfrac {2}{4}}$ , जिसका मान (0.5) के समान है ${\tfrac {1}{2}}$ . इसे देखने के लिए, एक केक को चार टुकड़ों में काटने की कल्पना करें; दो टुकड़े एक साथ ( ${\tfrac {2}{4}}$ ) आधा केक बनाओ ( ${\tfrac {1}{2}}$ )

भिन्नों का सरलीकरण (घटाना)संपादित करें

एक भिन्न के अंश और हर को एक ही गैर-शून्य संख्या से विभाजित करने पर एक समान भिन्न प्राप्त होता है: यदि किसी भिन्न का अंश और हर दोनों 1 से बड़ी संख्या (जिसे एक कारक कहा जाता है) से विभाज्य हैं, तो भिन्न को कम किया जा सकता है एक छोटे अंश और एक छोटे हर के बराबर अंश के लिए। उदाहरण के लिए, यदि अंश का अंश और हर दोनों ${\tfrac {a}{b}}$ से विभाज्य हैं ${\डिस्प्लेस्टाइल सी,}$ तो उन्हें के रूप में लिखा जा सकता है $a=cd$ तथा $बी=सीई,$ और अंश बन जाता है ${\tfrac {cd}{ce}}$ , जिसे अंश और हर दोनों को विभाजित करके कम किया जा सकता है ${\डिस्प्लेस्टाइल सी}$ घटा हुआ अंश देने के लिए ${\tfrac {d}{e}}.$

यदि कोई $c$ के लिए अंश और हर का सबसे बड़ा सामान्य भाजक लेता है , तो उसे वह तुल्य भिन्न प्राप्त होता है जिसके अंश और हर का निरपेक्ष मान सबसे कम होता है । एक का कहना है कि भिन्न को उसके निम्नतम पदों तक घटा दिया गया है ।

यदि अंश और हर 1 से अधिक किसी भी कारक को साझा नहीं करते हैं, तो अंश पहले से ही सबसे कम शर्तों तक कम हो जाता है, और इसे इरेड्यूबल , कम या सरल शब्दों में कहा जाता है । उदाहरण के लिए, ${\tfrac {3}{9}}$ निम्नतम पदों में नहीं है क्योंकि 3 और 9 दोनों को 3 से पूर्णतः विभाजित किया जा सकता है। इसके विपरीत, ${\tfrac {3}{8}}$ है न्यूनतम मान-केवल सकारात्मक पूर्णांक है कि दोनों 3 और 8 समान रूप से 1 है चला जाता है में।

इन नियमों का प्रयोग करके हम यह दिखा सकते हैं कि ${\tfrac {5}{10}}={\tfrac {1}{2}}={\tfrac {10}{20}}={\tfrac {50}{100}}$ , उदाहरण के लिए।

एक अन्य उदाहरण के रूप में, चूंकि 63 और 462 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 21 है, भिन्न ${\tfrac {63}{462}}$ अंश और हर को 21 से विभाजित करके निम्नतम पदों तक घटाया जा सकता है:

{\tfrac {63}{462}}={\tfrac {63\,\div \,21}{462\,\div \,21}}={\tfrac {3}{22}}

इयूक्लिडियन एल्गोरिथ्म किसी भी दो पूर्णांकों का सबसे बड़ा आम भाजक को खोजने के लिए एक विधि देता है।

भिन्नों की तुलना करनासंपादित करें

समान धनात्मक हर के साथ भिन्नों की तुलना करने से अंशों की तुलना करने पर समान परिणाम प्राप्त होता है:

{\tfrac {3}{4}}>{\tfrac {2}{4}}

क्योंकि 3 > 2 , और बराबर हर

{\डिस्प्लेस्टाइल 4}

सकारात्मक हैं।

यदि समान भाजक ऋणात्मक हैं, तो अंशों की तुलना करने का विपरीत परिणाम भिन्नों के लिए मान्य है:

{\tfrac {3}{-4}}<{\tfrac {2}{-4}}{\text{ क्योंकि }}{\tfrac {a}{-b}}={\tfrac {- a}{b}}{\पाठ{ और }}-3<-2.

यदि दो धनात्मक भिन्नों का अंश समान हो, तो छोटे हर वाली भिन्न बड़ी संख्या होती है। जब एक पूरे को बराबर टुकड़ों में विभाजित किया जाता है, अगर पूरे को बनाने के लिए कम बराबर टुकड़ों की आवश्यकता होती है, तो प्रत्येक टुकड़ा बड़ा होना चाहिए। जब दो धनात्मक भिन्नों का अंश समान होता है, तो वे समान भागों का प्रतिनिधित्व करते हैं, लेकिन छोटे हर वाले भिन्न में, भाग बड़े होते हैं।

भिन्न अंशों और हरों के साथ भिन्नों की तुलना करने का एक तरीका एक सामान्य भाजक को खोजना है। तुलना करने के लिए ${\tfrac {a}{b}}$ तथा ${\tfrac {c}{d}}$ , इन्हें परिवर्तित किया जाता है ${\tfrac {a\cdot d}{b\cdot d}}$ तथा ${\tfrac {b\cdot c}{b\cdot d}}$ (जहां बिंदु गुणन को दर्शाता है और × का एक वैकल्पिक प्रतीक है)। तब bd एक उभयनिष्ठ हर है और अंशों के विज्ञापन और bc की तुलना की जा सकती है। भिन्नों की तुलना करने के लिए सामान्य भाजक का मान निर्धारित करना आवश्यक नहीं है - कोई केवल बीडी का मूल्यांकन किए बिना विज्ञापन और बीसी की तुलना कर सकता है , उदाहरण के लिए, तुलना करना ${\tfrac {2}{3}}$ ? ${\tfrac {1}{2}}$ देता है ${\tfrac {4}{6}}>{\tfrac {3}{6}}$ .

अधिक श्रमसाध्य प्रश्न के लिए ${\tfrac {5}{18}}$ ? ${\tfrac {4}{17}},$ एक आम भाजक प्राप्त करने के लिए, दूसरे भिन्न के हर द्वारा प्रत्येक अंश के ऊपर और नीचे गुणा करें, उपज ${\tfrac {5\बार 17}{18\बार 17}}$ ? ${\tfrac {18\बार 4}{18\बार 17}}$ . गणना करने की आवश्यकता नहीं है $18\बार 17$ - केवल अंशों की तुलना करने की आवश्यकता है। चूँकि 5×17 (= 85) 4×18 (= 72) से बड़ा है, तुलना करने का परिणाम है ${\tfrac {5}{18}}>{\tfrac {4}{17}}$ .

चूँकि प्रत्येक ऋणात्मक संख्या, ऋणात्मक भिन्नों सहित, शून्य से कम है, और प्रत्येक धनात्मक संख्या, धनात्मक भिन्नों सहित, शून्य से बड़ी है, इसका अर्थ है कि कोई भी ऋणात्मक भिन्न किसी भी धनात्मक भिन्न से कम है। यह उपरोक्त नियमों के साथ, सभी संभावित भिन्नों की तुलना करने की अनुमति देता है।

योगसंपादित करें

जोड़ का पहला नियम यह है कि केवल समान मात्राएँ जोड़ी जा सकती हैं; उदाहरण के लिए, तिमाहियों की विभिन्न मात्राएँ। मात्राओं के विपरीत, जैसे कि तिहाई को तिमाहियों में जोड़ना, पहले समान मात्रा में परिवर्तित किया जाना चाहिए जैसा कि नीचे वर्णित है: कल्पना कीजिए कि एक पॉकेट में दो चौथाई हैं, और एक अन्य पॉकेट में तीन चौथाई है; कुल मिलाकर, पाँच तिमाहियाँ हैं। चूँकि चार तिमाहियाँ एक (डॉलर) के बराबर होती हैं, इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

{\tfrac {2}{4}}+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {5}{4}}=1{\tfrac {1}{4}}

.

अगर

{\tfrac {1}{2}}

एक केक का जोड़ा जाना है

{\tfrac {1}{4}}

एक केक के, टुकड़ों को तुलनीय मात्रा में परिवर्तित करने की आवश्यकता होती है, जैसे केक-आठवां या केक-क्वार्टर।

विषम मात्राओं को जोड़नासंपादित करें

भिन्न मात्राओं (जैसे क्वार्टर और तिहाई) वाले अंशों को जोड़ने के लिए, सभी राशियों को समान मात्राओं में बदलना आवश्यक है। भिन्न के चुने हुए प्रकार को परिवर्तित करना आसान है; बस प्रत्येक भिन्न के दो हर (निचली संख्या) को एक साथ गुणा करें। एक पूर्णांक संख्या के मामले में अदृश्य हर लागू करें ${\डिस्प्लेस्टाइल 1.}$

तिहाई में तिहाई जोड़ने के लिए, दोनों प्रकार के अंशों को बारहवें में बदल दिया जाता है, इस प्रकार:

{\frac {1}{4}}\ +{\frac {1}{3}}={\frac {1\times 3}{4\times 3}}\ +{\frac {1\ गुना 4}{3\बार 4}}={\frac {3}{12}}\ +{\frac {4}{12}}={\frac {7}{12}}.

निम्नलिखित दो मात्राओं को जोड़ने पर विचार करें:

{\frac {3}{5}}+{\frac {2}{3}}

सबसे पहले, कनवर्ट करें ${\tfrac {3}{5}}$ अंश और हर दोनों को तीन से गुणा करके पंद्रहवें में: ${\tfrac {3}{5}}\times {\tfrac {3}{3}}={\tfrac {9}{15}}$ . तब से ${\tfrac {3}{3}}$ 1 के बराबर है से गुणा ${\tfrac {3}{3}}$ भिन्न का मान नहीं बदलता है।

दूसरा, कन्वर्ट ${\tfrac {2}{3}}$ अंश और हर दोनों को पाँच से गुणा करके पंद्रहवें में: ${\tfrac {2}{3}}\times {\tfrac {5}{5}}={\tfrac {10}{15}}$ .

अब यह देखा जा सकता है कि:

{\frac {3}{5}}+{\frac {2}{3}}

के बराबर है:

{\frac {9}{15}}+{\frac {10}{15}}={\frac {19}{15}}=1{\frac {4}{15}}

इस विधि को बीजगणितीय रूप से व्यक्त किया जा सकता है:

{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+cb}{bd}}

यह बीजीय विधि हमेशा काम करती है, जिससे यह गारंटी मिलती है कि साधारण अंशों का योग हमेशा एक साधारण अंश होता है। हालाँकि, यदि एकल हर में एक सामान्य कारक होता है, तो इनके उत्पाद से छोटे हर का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, जोड़ते समय ${\tfrac {3}{4}}$ तथा ${\tfrac {5}{6}}$ एकल भाजक का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड होता है ${\डिस्प्लेस्टाइल 2,}$ और इसलिए, हर 24 (4 × 6) के बजाय, आधा हर 12 का उपयोग किया जा सकता है, न केवल परिणाम में हर को कम करता है, बल्कि अंश में कारक भी।

{\begin{aligned}{\frac {3}{4}}+{\frac {5}{6}}&={\frac {3\cdot 6}{4\cdot 6}}+{ \frac {4\cdot 5}{4\cdot 6}}={\frac {18}{24}}+{\frac {20}{24}}&={\frac {19}{12}}\ \&={\frac {3\cdot 3}{4\cdot 3}}+{\frac {2\cdot 5}{2\cdot 6}}={\frac {9}{12}}+{\ फ़्रैक {10}{12}}&={\frac {19}{12}}\end{aligned}}

सबसे छोटा संभव भाजक एकल हर के कम से कम सामान्य गुणक द्वारा दिया जाता है, जो एकल हर के सभी सामान्य कारकों द्वारा रटने के गुणक को विभाजित करने के परिणामस्वरूप होता है। इसे सबसे छोटा आम भाजक कहा जाता है।

घटावसंपादित करें

अंशों को घटाने की प्रक्रिया, संक्षेप में, उन्हें जोड़ने की प्रक्रिया के समान है: एक सामान्य हर खोजें, और चुने हुए सामान्य हर के साथ प्रत्येक अंश को एक समान भिन्न में बदलें। परिणामी भिन्न में वह हर होगा, और उसका अंश मूल भिन्नों के अंशों को घटाने का परिणाम होगा। उदाहरण के लिए,

{\tfrac {2}{3}}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {4}{6}}-{\tfrac {3}{6}}={\tfrac {1}{6}}

गुणासंपादित करें

एक भिन्न को दूसरे भिन्न से गुणा करनासंपादित करें

भिन्नों को गुणा करने के लिए, अंशों को गुणा करें और हर को गुणा करें। इस प्रकार:

{\tfrac {2}{3}}\times {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {6}{12}}

प्रक्रिया की व्याख्या करने के लिए, एक चौथाई के एक तिहाई पर विचार करें। एक केक के उदाहरण का उपयोग करते हुए, यदि समान आकार के तीन छोटे स्लाइस एक चौथाई बनाते हैं, और चार चौथाई पूरे बनाते हैं, तो इनमें से बारह छोटे, समान स्लाइस एक पूरे बनाते हैं। इसलिए, तिमाही का एक तिहाई बारहवां है। अब अंकगणित पर विचार करें। पहला अंश, दो तिहाई, एक तिहाई से दोगुना बड़ा है। चूंकि एक तिमाही का एक तिहाई एक बारहवां है, एक तिमाही का दो तिहाई दो बारहवां है। दूसरा अंश, तीन चौथाई, एक चौथाई से तीन गुना बड़ा है, इसलिए तीन तिमाहियों का दो तिहाई एक तिमाही के दो तिहाई से तीन गुना बड़ा है। इस प्रकार दो तिहाई गुणा तीन तिमाहियों छह बारहवां है।

भिन्नों को गुणा करने के लिए एक शॉर्टकट को "रद्दीकरण" कहा जाता है। गुणन के दौरान प्रभावी रूप से उत्तर को न्यूनतम शब्दों में घटा दिया जाता है। उदाहरण के लिए:

{\tfrac {2}{3}}\times {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {{\cancel {2}}^{~1}}{{\cancel {3} }^{~1}}}\times {\tfrac {{\cancel {3}}^{~1}}{{\cancel {4}}^{~2}}}={\tfrac {1}{ 1}}\बार {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}

बाएँ भिन्न के अंश और दाएँ के हर दोनों में एक दो एक सामान्य गुणनखंड है और दोनों से विभाजित होता है। तीन बाएँ हर और दाएँ अंश का एक सामान्य गुणनखंड है और दोनों से विभाजित होता है।

किसी भिन्न को पूर्ण संख्या से गुणा करनासंपादित करें

चूंकि एक पूर्ण संख्या को 1 से विभाजित करके फिर से लिखा जा सकता है, सामान्य अंश गुणन नियम अभी भी लागू हो सकते हैं।

6\बार {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {6}{1}}\times {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {18}{4}}

यह विधि काम करती है क्योंकि भिन्न 6/1 का अर्थ है छह बराबर भाग, जिनमें से प्रत्येक एक पूर्ण है।

मिश्रित संख्याओं को गुणा करनासंपादित करें

मिश्रित संख्याओं को गुणा करते समय, मिश्रित संख्या को अनुचित अंश में परिवर्तित करना बेहतर माना जाता है। ^[23] उदाहरण के लिए:

3\बार 2{\tfrac {3}{4}}=3\बार \बाएं({\tfrac {8}{4}}+{\tfrac {3}{4}}\दाएं)=3 \times {\tfrac {11}{4}}={\tfrac {33}{4}}=8{\tfrac {1}{4}}

दूसरे शब्दों में, $2{\tfrac {3}{4}}$ वैसा ही है जैसा कि ${\tfrac {8}{4}}+{\tfrac {3}{4}}$ , कुल मिलाकर 11 क्वार्टर बनाते हैं (क्योंकि 2 केक, प्रत्येक क्वार्टर में विभाजित होने से कुल 8 क्वार्टर बनते हैं) और 33 क्वार्टर हैं $8{\tfrac {1}{4}}$ , चूंकि 8 केक, प्रत्येक चौथाई से बने होते हैं, कुल मिलाकर 32 चौथाई होते हैं।

विभाजनसंपादित करें

किसी भिन्न को पूर्ण संख्या से विभाजित करने के लिए, आप या तो अंश को संख्या से विभाजित कर सकते हैं, यदि वह समान रूप से अंश में जाता है, या हर को संख्या से गुणा कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, ${\tfrac {10}{3}}\div 5$ बराबरी ${\tfrac {2}{3}}$ और भी बराबर ${\tfrac {10}{3\cdot 5}}={\tfrac {10}{15}}$ , जो कम कर देता है ${\tfrac {2}{3}}$ . किसी संख्या को भिन्न से भाग देने के लिए, उस संख्या को उस भिन्न के व्युत्क्रम से गुणा करें । इस प्रकार, ${\tfrac {1}{2}}\div {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {4}{3}}={ \tfrac {1\cdot 4}{2\cdot 3}}={\tfrac {2}{3}}$ .

दशमलव और भिन्नों के बीच कनवर्ट करनासंपादित करें

एक सामान्य अंश को एक दशमलव में बदलने के लिए, हर द्वारा अंश के दशमलव निरूपण का एक लंबा विभाजन करें (इसे मुहावरेदार रूप से "अंश में हर को विभाजित करें" के रूप में भी कहा जाता है), और वांछित सटीकता के उत्तर को गोल करें। उदाहरण के लिए, बदलने के लिए1/4 एक दशमलव के लिए, विभाजित $1.00$ द्वारा ${\डिस्प्लेस्टाइल 4}$ (" ${\डिस्प्लेस्टाइल 4}$ में $1.00$ "), प्राप्त करने के लिए ${\डिस्प्लेस्टाइल 0.25}$ . बदलने के लिए1/3 एक दशमलव के लिए, विभाजित $1.000...$ द्वारा ${\डिस्प्लेस्टाइल 3}$ (" ${\डिस्प्लेस्टाइल 3}$ में $1.0000...$ "), और वांछित सटीकता प्राप्त होने पर रुकें, उदाहरण के लिए, at ${\डिस्प्लेस्टाइल 4}$ दशमलव के साथ $0.3333$ . अंश1/4 ठीक दो दशमलव अंकों के साथ लिखा जा सकता है, जबकि भिन्न 1/3अंकों की एक सीमित संख्या के साथ दशमलव के रूप में बिल्कुल नहीं लिखा जा सकता है। दशमलव को भिन्न में बदलने के लिए, हर में लिखें a ${\डिस्प्लेस्टाइल 1}$ दशमलव बिंदु के दाईं ओर जितने भी अंक हैं, उतने शून्य हैं, और दशमलव बिंदु को छोड़कर, मूल दशमलव के सभी अंकों को अंश में लिखें। इस प्रकार $12.3456={\tfrac {123456}{10000}}.$

आवर्ती दशमलवों को भिन्नों में बदलनासंपादित करें

दशमलव संख्या, जबकि गणना करते समय काम करने के लिए यकीनन अधिक उपयोगी है, कभी-कभी उस सटीकता की कमी होती है जो सामान्य अंशों में होती है। कभी-कभी उसी सटीकता तक पहुंचने के लिए अनंत दोहराए जाने वाले दशमलव की आवश्यकता होती है। इस प्रकार, बार-बार आने वाले दशमलव को भिन्नों में बदलना अक्सर उपयोगी होता है।

पसंदीदा ^{[ किसके द्वारा? ]} दोहराए जाने वाले दशमलव को इंगित करने का तरीका दोहराए जाने वाले अंकों के ऊपर एक बार ( विनकुलम के रूप में जाना जाता है ) रखना है , उदाहरण के लिए 0. 789 = 0.789789789... दोहराए जाने वाले पैटर्न के लिए जहां दोहराव पैटर्न दशमलव बिंदु के तुरंत बाद शुरू होता है, एक साधारण पैटर्न को नाइनों की उतनी ही संख्या से विभाजित करना जितना उसके पास पर्याप्त होगा। उदाहरण के लिए:

0. 5 = 5/9

0. 62 = 62/99

0. 264 = 264/999

0. 6291 = 6291/9999

यदि पैटर्न से पहले अग्रणी शून्य हैं , तो नाइनों को अनुगामी शून्यों की समान संख्या से जोड़ा जाता है :

0.0 5 = 5/90

0.000 392 = 392/999000

0.00 12 = 12/9900

यदि पैटर्न से पहले दशमलवों का एक गैर-दोहराव सेट (जैसे 0.1523 987 ), हम इसे क्रमशः गैर-दोहराए जाने वाले और दोहराए जाने वाले भागों के योग के रूप में लिख सकते हैं:

0.1523 + 0.0000 987

फिर, दोनों भागों को भिन्नों में बदलें, और ऊपर वर्णित विधियों का उपयोग करके उन्हें जोड़ें:

1523/10000 + 987/9990000 = 1522464/9990000

वैकल्पिक रूप से, बीजगणित का उपयोग किया जा सकता है, जैसे कि नीचे:

मान लीजिए x = आवर्ती दशमलव:
एक्स = 0.1523 987
दशमलव संख्या के दोहराए जाने वाले भाग से ठीक पहले दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए दोनों पक्षों को 10 की शक्ति से गुणा करें (इस मामले में 10 ⁴ ) पर्याप्त :
10,000 x = 1,523। 987
दोनों पक्षों को 10 (इस मामले में 10 ³ ) की शक्ति से गुणा करें जो कि दोहराने वाले स्थानों की संख्या के समान है:
10,000,000 x = 1,523,987। 987
दो समीकरणों को एक दूसरे से घटाएं (यदि a = b और c = d , तो a - c = b - d ):
10,000,000 x - 10,000 x = 1,523,987। 987 - 1,523। 987
दोहराए जाने वाले दशमलव को साफ़ करने के लिए घटाव ऑपरेशन जारी रखें:
9,990,000 x = 1,523,987 - 1,523
= 1,522,464
x को भिन्न के रूप में निरूपित करने के लिए दोनों पक्षों को 9,990,000 से विभाजित करें
एक्स = 1522464 / 9990000

अमूर्त गणित में भिन्नसंपादित करें

महान व्यावहारिक महत्व के होने के अलावा, गणितज्ञों द्वारा भिन्नों का भी अध्ययन किया जाता है, जो यह जाँचते हैं कि ऊपर दिए गए भिन्नों के नियम सुसंगत और विश्वसनीय हैं । गणितज्ञ भिन्न को क्रमित युग्म के रूप में परिभाषित करते हैं $(ए,बी)$ की पूर्णांकों ${\डिस्प्लेस्टाइल ए}$ तथा $b\neq 0,$ जिसके लिए संचालन जोड़ , घटाव , गुणा और भाग को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: ^[24]

(ए,बी)+(सी,डी)=(विज्ञापन+बीसी,बीडी)\,

(ए,बी)-(सी,डी)=(विज्ञापन-बीसी,बीडी)\,

(ए,बी)\cdot (सी,डी)=(एसी,बीडी)

(a,b)\div (c,d)=(ad,bc)\quad ({\text{साथ, अतिरिक्त, }}c\neq 0)

ये परिभाषाएँ हर मामले में ऊपर दी गई परिभाषाओं से सहमत हैं; केवल अंकन अलग है। वैकल्पिक रूप से, घटाव और विभाजन को संचालन के रूप में परिभाषित करने के बजाय, जोड़ और गुणा के संबंध में "उलटा" अंशों को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:

{\begin{aligned}-(a,b)&=(-a,b)&&{\text{additive उलटा भिन्न,}}\\&&&{\text{with }}(0,b){ \text{ योगात्मक इकाइयों के रूप में, और}}\\(a,b)^{-1}&=(b,a)&&{\text{गुणात्मक प्रतिलोम भिन्न, }}a\neq 0,\\&&&{ के लिए \text{साथ }}(b,b){\text{ गुणक इकाइयों के रूप में}}.\end{aligned}}

इसके अलावा, संबंध , के रूप में निर्दिष्ट

(a,b)\sim (c,d)\quad \iff \quad ad=bc,

एक है तुल्यता संबंध भिन्न की। एक तुल्यता वर्ग के प्रत्येक अंश को पूरी कक्षा के लिए एक प्रतिनिधि के रूप में माना जा सकता है , और प्रत्येक पूरे वर्ग को एक अमूर्त अंश माना जा सकता है। यह तुल्यता उपरोक्त परिभाषित संचालन द्वारा संरक्षित है, अर्थात, भिन्नों पर संचालन के परिणाम उनके समकक्ष वर्ग के प्रतिनिधियों के चयन से स्वतंत्र हैं। औपचारिक रूप से, भिन्नों को जोड़ने के लिए

(ए,बी)\सिम (ए',बी')\क्वाड

तथा

\quad (c,d)\sim (c',d')\quad

मतलब

((a,b)+(c,d))\sim ((a',b')+(c',d'))

और इसी तरह अन्य कार्यों के लिए।

पूर्णांकों के भिन्नों के मामले में, भिन्न ए/बीसाथ $एक$ और $ख$ coprime और $ख > 0$ अक्सर अपने लिए विशिष्ट निर्धारित प्रतिनिधियों के रूप में लिया जाता है बराबर भिन्न, जो माना जाता है एक ही तर्कसंगत संख्या। इस प्रकार पूर्णांकों के भिन्न परिमेय संख्याओं का क्षेत्र बनाते हैं।

अधिक सामान्यतः, a और b किसी भी अभिन्न डोमेन R के तत्व हो सकते हैं , जिस स्थिति में भिन्न R के भिन्नों के क्षेत्र का एक तत्व होता है । उदाहरण के लिए, एक अनिश्चित में बहुपद , कुछ अभिन्न डोमेन डी से गुणांक के साथ , स्वयं एक अभिन्न डोमेन हैं, इसे पी कहते हैं । तो के लिए एक और ख के तत्वों पी , उत्पन्न अंशों के क्षेत्र के क्षेत्र है तर्कसंगत अंशों (यह भी के क्षेत्र के रूप में जाना तर्कसंगत कार्यों )।

बीजीय भिन्नसंपादित करें

एक बीजीय भिन्न दो बीजीय व्यंजकों का संकेतित भागफल है । पूर्णांकों के भिन्नों की तरह, बीजीय भिन्न का हर शून्य नहीं हो सकता। बीजीय भिन्नों के दो उदाहरण हैं: ${\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}$ तथा ${\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}$ . बीजगणितीय भिन्न अंकगणितीय भिन्नों के समान फ़ील्ड गुणों के अधीन होते हैं ।

यदि अंश और हर बहुपद हैं , जैसे कि ${\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}$ , बीजीय भिन्न को परिमेय भिन्न (या परिमेय व्यंजक ) कहा जाता है । एक अपरिमेय भिन्न वह है जो परिमेय नहीं है, उदाहरण के लिए, एक जिसमें भिन्नात्मक घातांक या मूल के अंतर्गत चर शामिल है, जैसे कि ${\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}$ .

बीजीय भिन्नों का वर्णन करने के लिए प्रयुक्त शब्दावली सामान्य भिन्नों के लिए प्रयुक्त शब्दावली के समान है। उदाहरण के लिए, एक बीजीय भिन्न सबसे कम शब्दों में होता है यदि अंश और हर के लिए केवल सामान्य कारक 1 और -1 हैं। एक बीजीय भिन्न जिसका अंश या हर या दोनों में भिन्न होता है, जैसे ${\frac {1+{\tfrac {1}{x}}}{1-{\tfrac {1}{x}}}}$ जटिल भिन्न कहलाता है ।

परिमेय संख्याओं का क्षेत्र पूर्णांकों के भिन्नों का क्षेत्र होता है, जबकि पूर्णांक स्वयं एक क्षेत्र नहीं होते बल्कि एक अभिन्न डोमेन होते हैं । इसी प्रकार, किसी क्षेत्र में गुणांक वाले परिमेय भिन्न उस क्षेत्र में गुणांक वाले बहुपदों के भिन्नों का क्षेत्र बनाते हैं। वास्तविक गुणांक वाले परिमेय भिन्नों को ध्यान में रखते हुए, संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने वाले मूलक व्यंजक , जैसे $\textstyle {\sqrt {2}}/2,$ परिमेय भिन्न भी हैं, जैसे कि एक अनुवांशिक संख्याएं जैसे ${\textstyle \pi /2,}$ सभी के बाद से ${\sqrt {2}},\pi ,$ तथा ${\डिस्प्लेस्टाइल 2}$ कर रहे हैं वास्तविक संख्या , और इस तरह गुणांक के रूप में माना जाता है। हालाँकि, ये समान संख्याएँ पूर्णांक गुणांक वाली परिमेय भिन्न नहीं हैं ।

आंशिक भिन्न शब्द का प्रयोग परिमेय भिन्नों को सरल भिन्नों के योगों में अपघटित करते समय किया जाता है। उदाहरण के लिए, परिमेय भिन्न ${\frac {2}x}{x^{2}-1}}$ दो भिन्नों के योग के रूप में विघटित किया जा सकता है: ${\frac {1}{x+1}}+{\frac {1}{x-1}}.$ यह परिमेय फलनों के अवकलजों की गणना के लिए उपयोगी है ( अधिक के लिए आंशिक अंश अपघटन देखें )।

कट्टरपंथी अभिव्यक्तिसंपादित करें

अंश में अंश या हर में मूलक भी हो सकते हैं । यदि हर में रेडिकल होते हैं, तो इसे युक्तिसंगत बनाने में मददगार हो सकता है ( एक रेडिकल एक्सप्रेशन के सरलीकृत रूप की तुलना करें ), खासकर अगर आगे के ऑपरेशन, जैसे कि उस अंश को दूसरे में जोड़ना या तुलना करना, किया जाना है। यदि विभाजन मैन्युअल रूप से किया जाए तो यह अधिक सुविधाजनक होता है। जब हर एक एकपदी वर्गमूल होता है, तो इसे भिन्न के ऊपर और नीचे दोनों को हर से गुणा करके युक्तिसंगत बनाया जा सकता है:

{\frac {3}{\sqrt {7}}}={\frac {3}{\sqrt {7}}}\cdot {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7} }}={\frac {3{\sqrt {7}}}{7}}

द्विपद हर के युक्तिकरण की प्रक्रिया में हर के संयुग्म द्वारा एक अंश के ऊपर और नीचे गुणा करना शामिल है ताकि हर एक परिमेय संख्या बन जाए। उदाहरण के लिए:

{\frac {3}{3-2{\sqrt {5}}}}={\frac {3}{3-2{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {3+ 2{\sqrt {5}}}{3+2{\sqrt {5}}}}={\frac {3(3+2{\sqrt {5}})}{{3}^{2}- (2{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {3(3+2{\sqrt {5}})}{9-20}}=-{\frac {9+6 {\sqrt {5}}}{11}}

{\frac {3}{3+2{\sqrt {5}}}}={\frac {3}{3+2{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {3- 2{\sqrt {5}}}{3-2{\sqrt {5}}}}={\frac {3(3-2{\sqrt {5}})}{{3}^{2}- (2{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {3(3-2{\sqrt {5}})}{9-20}}=-{\frac {9-6 {\sqrt {5}}}{11}}

भले ही इस प्रक्रिया के परिणामस्वरूप अंश अपरिमेय हो, जैसा कि ऊपर के उदाहरणों में है, प्रक्रिया अभी भी बाद के जोड़तोड़ की सुविधा प्रदान कर सकती है, जिससे हर में काम करने वाले अपरिमेय की संख्या कम हो जाती है।

टंकण संबंधी विविधताएंसंपादित करें

कंप्यूटर डिस्प्ले और टाइपोग्राफी में , साधारण अंश कभी-कभी एकल वर्ण के रूप में मुद्रित होते हैं, उदाहरण के लिए ½ ( एक आधा )। यूनिकोड में ऐसा करने के बारे में जानकारी के लिए संख्या प्रपत्र पर आलेख देखें ।

वैज्ञानिक प्रकाशन उपयोग के दिशा-निर्देशों के साथ भिन्नों को सेट करने के चार तरीकों को अलग करता है: ^[25]

विशेष भिन्न: भिन्न जो एक तिरछी पट्टी के साथ एकल वर्ण के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं, पाठ में अन्य वर्णों के समान ऊँचाई और चौड़ाई के साथ। आम तौर पर साधारण भिन्नों के लिए उपयोग किया जाता है, जैसे: ½, ⅓, ⅔, , और । चूंकि अंक छोटे होते हैं, इसलिए सुपाठ्यता एक समस्या हो सकती है, खासकर छोटे आकार के फोंट के लिए। इनका उपयोग आधुनिक गणितीय संकेतन में नहीं, बल्कि अन्य संदर्भों में किया जाता है।
केस फ्रैक्शंस: विशेष भिन्नों के समान, इन्हें एकल टाइपोग्राफ़िकल कैरेक्टर के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, लेकिन एक क्षैतिज पट्टी के साथ, इस प्रकार उन्हें सीधा बना दिया जाता है । एक उदाहरण होगा ${\tfrac {1}{2}}$ , लेकिन अन्य पात्रों के समान ऊंचाई के साथ प्रस्तुत किया गया। कुछ स्रोतों में भिन्नों को केस फ्रैक्शंस के रूप में प्रस्तुत करना शामिल है यदि वे बार की दिशा की परवाह किए बिना केवल एक टाइपोग्राफ़िकल स्पेस लेते हैं। ^[26]
शिलिंग या सॉलिडस फ्रैक्शंस: 1/2, इसलिए कहा जाता है क्योंकि इस नोटेशन का इस्तेमाल पूर्व-दशमलव ब्रिटिश मुद्रा ( £ एसडी ) के लिए किया गया था , जैसे कि 2/6 में हाफ क्राउन के लिए , जिसका अर्थ है दो शिलिंग और छह पेंस। जबकि अंकन "दो शिलिंग और छह पेंस" एक अंश का प्रतिनिधित्व नहीं करते थे, आगे की स्लैश अब भिन्नों में उपयोग की जाती है, विशेष रूप से गद्य के साथ इनलाइन अंशों के लिए (दिखाए जाने के बजाय), असमान रेखाओं से बचने के लिए। इसका उपयोग भिन्नों ( जटिल भिन्नों ) के भीतर या घातांक के भीतर पठनीयता बढ़ाने के लिए भी किया जाता है । इस तरह से लिखे गए भिन्न, जिन्हें पीस फ्रैक्शंस के रूप में भी जाना जाता है , ^[27] सभी एक टाइपोग्राफ़िकल लाइन पर लिखे जाते हैं, लेकिन 3 या अधिक टाइपोग्राफ़िकल स्पेस लेते हैं।
निर्मित अंश: ${\frac {1}{2}}$ . यह संकेतन सामान्य पाठ की दो या दो से अधिक पंक्तियों का उपयोग करता है, और अन्य पाठ में शामिल होने पर पंक्तियों के बीच अंतर में भिन्नता का परिणाम होता है। जबकि बड़े और सुपाठ्य, ये विघटनकारी हो सकते हैं, विशेष रूप से साधारण अंशों के लिए या जटिल अंशों के भीतर।

इतिहाससंपादित करें

जल्द से जल्द अंशों थे reciprocals के integers : प्राचीन प्रतीक दो में से एक हिस्सा है, तीन में से एक हिस्सा है, चार में से एक हिस्सा का प्रतिनिधित्व करने, और इतने पर। ^[28] मिस्र के लिए प्रयोग किया जाता मिस्र अंशों सी। 1000 ई.पू. लगभग 4000 साल पहले, मिस्रवासी थोड़े भिन्न तरीकों का उपयोग करके भिन्नों में विभाजित होते थे। उन्होंने इकाई अंशों के साथ कम से कम सामान्य गुणकों का उपयोग किया । उनकी विधियों ने वही उत्तर दिया जो आधुनिक विधियों ने दिया था। ^[29] मिस्रवासियों के पास अखमीम वुडन टैबलेट और कई रिहिंड गणितीय पेपिरस समस्याओं में डाईडिक अंशों के लिए एक अलग संकेतन था ।

यूनानियों इकाई भिन्न का इस्तेमाल किया और (बाद में) अंशों को जारी रखा । ग्रीक दार्शनिक पाइथागोरस ( सी। 530 ईसा पूर्व) के अनुयायियों ने पाया कि दो के वर्गमूल को पूर्णांकों के अंश के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है । (यह आमतौर पर है, हालांकि शायद ग़लती से के लिए जिम्मेदार माना है हिपपासस की मेटापोंटम में, जो इस बात को खुलासा करने के लिए के बाद मार दिया जाता है।) 150 ईसा पूर्व जैन गणितज्ञों भारत ने लिखा " स्थानांग सूत्र ", जिसमें संख्याओं के सिद्धांत, अंकगणितीय संक्रियाओं और भिन्नों के साथ संक्रियाओं पर कार्य शामिल है।

भिन्नों की एक आधुनिक अभिव्यक्ति जिसे भिननारसी के रूप में जाना जाता है , भारत में आर्यभट्ट ( सी। 500 ईस्वी ), ^{[ उद्धरण वांछित ]}ब्रह्मगुप्त ( सी। 628 ), और भास्कर ( सी। 1150 ) के काम में उत्पन्न हुई है । ^[30] उनके काम करता अंश (रखकर अंशों फार्म संस्कृत : AMSA ) हरों (अधिक Cheda ), लेकिन उन दोनों के बीच एक बार बिना। ^[30] में संस्कृत साहित्य, भिन्नों को हमेशा एक पूर्णांक में जोड़ने या घटाने के रूप में व्यक्त किया जाता था। ^{[ उद्धरण वांछित ]} पूर्णांक एक पंक्ति पर और भिन्न उसके दो भागों में अगली पंक्ति पर लिखा गया था। यदि भिन्न को एक छोटे वृत्त ⟨0⟩ या क्रॉस +⟩ द्वारा चिह्नित किया गया था, तो इसे पूर्णांक से घटाया जाता है; यदि ऐसा कोई चिन्ह प्रकट नहीं होता है, तो इसे जोड़ा जाना समझा जाता है। उदाहरण के लिए, भास्कर प्रथम लिखता है: ^[31]

66

1 1 ₀

4 59

जो के बराबर है

6 1 2

1 1 −1

4 5 9

और आधुनिक संकेतन में 6 . के रूप में लिखा जाएगा1/4, 11/5, और 2 - 1/9 (यानी, 18/9)

क्षैतिज अंश बार पहले के काम में अनुप्रमाणित किया गया है अल Hassār ( fl। 1200 ,) ^[30] एक मुस्लिम गणितज्ञ से फेज , मोरक्को , जो में विशेषज्ञता इस्लामिक उत्तराधिकार न्यायशास्त्र । अपनी चर्चा में वे लिखते हैं, "... उदाहरण के लिए, यदि आपको तीन-पांचवें और पांचवें का एक तिहाई लिखने के लिए कहा जाए, तो इस प्रकार लिखें, ${\frac {3\quad 1}{5\quad 3}}$ । " ^[32] समान भिन्नात्मक संकेतन-साथ पूर्णांक से पहले दिए गए अंश ^[30] के बाद जल्द ही के काम में -appears लियोनार्डो फिबोनैकी 13 वीं सदी में। ^[33]

दशमलव भिन्नों की उत्पत्ति पर चर्चा करते हुए , डिर्क जान स्ट्रुइक कहते हैं: ^[34]

"एक सामान्य कम्प्यूटेशनल अभ्यास के रूप में दशमलव अंशों की शुरूआत फ्लेमिश पैम्फलेट डी थिएन्डे में वापस की जा सकती है , जो फ्लेमिश गणितज्ञ साइमन स्टीविन (1548-1620) द्वारा फ्रांसीसी अनुवाद, ला डिसमे के साथ, 1585 में लेडेन में प्रकाशित हुई थी। उत्तरी में बसे नीदरलैंड । यह सच है कि दशमलव भिन्न द्वारा इस्तेमाल किया गया चीनी Stevin से पहले और फारसी खगोलविद कि कई शताब्दियों के अल काशी दोनों दशमलव और इस्तेमाल सेक्साजेसिमल अपने में बहुत आसानी से अंशों अंकगणित की कुंजी ( समरक़ंद , जल्दी पंद्रहवीं सदी) ।"^[35]

जबकि फ़ारसी गणितज्ञ जमशेद अल-काशी ने 15वीं शताब्दी में दशमलव अंशों की खोज करने का दावा किया था, जे। लेनार्ट बर्गग्रेन ने नोट किया कि उनसे गलती हुई थी, क्योंकि दशमलव अंशों का उपयोग पहली बार बगदादी गणितज्ञ अबुल-हसन अल द्वारा उनसे पांच शताब्दी पहले किया गया था। -उक्लिडिसी 10 वीं शताब्दी की शुरुआत में। ^[36]^{[एन 2]}

अनौपचारिक शिक्षासंपादित करें

शैक्षणिक उपकरणसंपादित करें

में प्राथमिक स्कूलों , भिन्न के माध्यम से प्रदर्शन किया गया है Cuisenaire छड़ , (तह या काटने के लिए), अंश बार, अंश स्ट्रिप्स, अंश हलकों, कागज पैटर्न ब्लॉक ,, पाई के आकार के टुकड़े, प्लास्टिक आयत, ग्रिड कागज डॉट कागज , geoboards , काउंटर और कंप्यूटर सॉफ्टवेयर।

शिक्षकों के लिए दस्तावेज-

संयुक्त राज्य अमेरिका में कई राज्यों ने गणित की शिक्षा के लिए कॉमन कोर स्टेट स्टैंडर्ड इनिशिएटिव के दिशानिर्देशों से सीखने के प्रक्षेपवक्र को अपनाया है । भिन्नों के सीखने और संचालन को भिन्नों के साथ अनुक्रमित करने के अलावा, दस्तावेज़ भिन्न की निम्नलिखित परिभाषा प्रदान करता है: "एक संख्या जिसे रूप में व्यक्त किया जा सकता है ${\डिस्प्लेस्टाइल ए}$ / ${\डिस्प्लेस्टाइल बी}$ कहां ${\डिस्प्लेस्टाइल ए}$ एक पूर्ण संख्या है और ${\डिस्प्लेस्टाइल बी}$ एक धनात्मक पूर्ण संख्या है। ( इन मानकों में भिन्न शब्द हमेशा एक गैर-ऋणात्मक संख्या को संदर्भित करता है।)" ^[38] दस्तावेज़ स्वयं भी नकारात्मक अंशों को संदर्भित करता है।

यदि किसी वास्तविक संख्या को दो पूर्ण संख्याओं के बटा के रूप में व्यक्त किया जा सकता है तो उसे परिमेय संख्या (Rational number) कहते हैं। अर्थात कोई संख्या ${\frac {p}{q}}$ , जहाँ p और q दोनों पूर्ण संख्याएं हैं और जहाँ $q\neq 0$ , एक परिमेय संख्या है। १, २.५, ३/५, ०.७ आदि परिमेय संख्याओं के कुछ उदाहरण हैं। इसे भिन्न संख्याये भी कहते है।

परिमेय संख्या से संबंधित प्रमेय- यदि x एक परिमेय संख्या है जिसका दशमलवीय विस्तार सांत (terminating) है। तब x को p बटा q के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p तथा q असहभाज्य संख्याएँ हैं तथा q का अविभाज्य गुणन खंड २-घात-n गुणे ५-घात-m के रूप में है जहाँ n और m गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं।

जो वास्तविक संख्याएं परिमेय नहीं होतीं, उन्हें अपरिमेय संख्या (Irrational number) कहते हैं; जैसे √२, पाई, e (प्राकृतिक लघुगणक का आधार), ८ का घनमूल आदि।

अपरिमेय संख्या

axhbअपरिमेय संख्या P या q को मानते हैं

[गणित] में, अपरिमेय संख्या (irrational number) वह वास्तविक संख्या है जो परिमेय नहीं है, अर्थात् जिसे भिन्न p /q के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, जहां p और q पूर्णांक हैं, जिसमें q गैर-शून्य है और इसलिए परिमेय संख्या नहीं है। अनौपचारिक रूप से, इसका मतलब है कि एक अपरिमेय संख्या को एक सरल भिन्न के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता। उदाहरण के लिये २ का वर्गमूल, और पाई अपरिमेय संख्याएँ हैं।

यह साबित हो सकता है कि अपरिमेय संख्याएं विशिष्ट रूप से ऐसी वास्तविक संख्याएं हैं जिन्हें समापक या सतत दशमलव के रूप में नहीं दर्शाया जा सकता है, हालांकि गणितज्ञ इसे परिभाषा के रूप में नहीं लेते हैं। कैंटर प्रमाण के परिणामस्वरूप कि वास्तविक संख्याएं अगणनीय हैं (परिमेय गणनीय) यह मानता है कि लगभग सभी वास्तविक संख्याएं अपरिमेय हैं।^[1] शायद, सर्वाधिक प्रसिद्ध अपरिमेय संख्याएं हैं π, e और √२.^[2]^[3]^[4] जब दो रेखा खंडों की लंबाई का अनुपात अपरिमेय है, तो रेखा खण्डों को भी तारतम्यहीन के रूप में वर्णित किया जाता है, वे किसी माप को आम रूप से साझा नहीं करते. इस अर्थ में एक रेखा खंड l का माप एक रेखा खंड J है जिसका "माप" इस अर्थ में l है कि एक छोर से दूसरे छोर तक J की सभी प्रतियों की संख्या 1 के समान ही लंबाई हासिल करती है।

संख्या \वर्णशैली\sqrt {2} अपरिमेय है।

इतिहाससंपादित करें

अपरिमेयता की अवधारणा को भारतीय गणितज्ञों द्वारा सातवीं शताब्दी ई.पू. से अव्यक्त रूप से स्वीकार किया गया, जब मानव (c. 750-690 ई.पू.) का मानना था कि कुछ विशिष्ट संख्याओं के वर्गमूल जैसे 2 और 61 को निश्चित रूप से निर्धारित नहीं किया जा सकता है।^[5]

अपरिमेय संख्या के अस्तित्व के प्रथम सबूत का श्रेय आम तौर पर एक पाईथागोरियाई (संभवतः मेटापोंटम के हिपासस) को दिया जाता है,^[6] जिसने शायद पेंटाग्राम के पक्षों की पहचान करने के दौरान उनकी खोज की। ^[7] उस वक्त के मौजूदा पाइथागोरिआई पद्धति ने दावा किया होता कि वहां जरुर ऐसी कोई पर्याप्त छोटी, अविभाज्य इकाई है जो इन लंबाई में से एक और अन्य में समान रूप से फिट बैठ सकती है। हालांकि, पांचवीं शताब्दी ई.पू. में हिपासस यह परिणाम निकालने में सक्षम था कि वास्तव में मापन की कोई आम इकाई नहीं है और इस तरह के एक अस्तित्व का अभिकथन वास्तव में एक विरोधाभास है। उसने यह प्रदर्शित करते हुए ऐसा किया की वह असंभव है जो यह द्वारा किया प्रदर्शन है कि अगर एक सम त्रिकोण समद्विबाहु का कर्ण वास्तव में एक बाहु से आनुपातिक है, तो माप की उस इकाई को सम और विषम, दोनों होना चाहिए जो कि असंभव है। उसका तर्क इस प्रकार है:

सम त्रिकोण समद्विबाहु की एक बाहु से कर्ण का अनुपात है क्ष:ज्ञ जिसे सर्वाधिक छोटी संभव इकाइयों में व्यक्त किया जाता है।
पाईथागोरियाई प्रमेय के अनुसार क्ष^२ = २ज्ञ^२
चूंकि क्ष^२ सम है, क्ष को सम होना होगा क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होता है।
चूंकि क्ष:ज्ञ अपने न्यूनतम मान पर है, तो ज्ञ को विषम ही होना चाहिए.
चूंकि क्ष सम है, तो मान लेते हैं कि क्ष = २श्र .
तो क्ष^२ = ४श्र^२ = २ज्ञ^२
ज्ञ^२ = २श्र^२ अतः ज्ञ^२ को सम ही होना चाहिए, इसलिए ज्ञ भी सम है।
हालांकि हमने माना कि ज्ञ विषम होना चाहिए. यहीं विरोधाभास है .^[8]

यूनानी गणितज्ञों ने असम्मेय परिमाण के इस अनुपात को अलोगोस अथवा वर्णनातीत कहा. हालांकि, उसके प्रयासों के लिए हिपासस की सराहना नहीं की गई: एक कथा के अनुसार, उसने अपनी यह खोज समुद्री यात्रा के दौरान की और उसे बाद में पाईथागोरिआई साथियों द्वारा जहाज से बाहर फेंक दिया गया "...ब्रह्मांड में एक ऐसा तत्त्व उत्पन्न करने के लिए जिसने ... इस सिद्धांत का खंडन किया कि ब्रह्मांड में सभी घटनाओं को पूर्णांक और उनके अनुपात में संक्षिप्त किया जा सकता है।^[9] एक अन्य कथा के अनुसार हिपासस को केवल इस रहस्योद्घाटन के लिए निर्वासित कर दिया गया था। हिपासस को खुद जो भी परिणाम भुगतने पड़े हों, उसकी खोज ने पाईथागोरियन गणित के समक्ष एक बहुत गंभीर समस्या खड़ी कर दी, क्योंकि इसने इस धारणा को ध्वस्त कर दिया कि संख्या और ज्यामिति अवियोज्य हैं-उनके सिद्धांत का आधार.

सिरेन के थिओडोरस ने 17 तक के पूर्णाकों के करणीगत की अपरिमेयता को साबित किया, लेकिन वहीं ठहर गया शायद इसलिए क्योंकि जिस बीजगणित का इस्तेमाल उसने किया उसे 17 के वर्ग मूल पर लागू नहीं किया जा सका.^[10] और जब युडोक्सस ने अनुपात का सिद्धांत विकसित किया जिसमें अपरिमेय के साथ-साथ परिमेय अनुपात का ध्यान रखा गया, तभी अपरिमेय संख्याओं की मजबूत गणितीय नींव निर्मित हुई.^[11] एक परिमाण "एक संख्या नहीं था, बल्कि वह अस्तित्वों के लिए था जैसे रेखा खंड, कोण, क्षेत्र, आयतन और समय जो हम कह सकते हैं लगातार भिन्न हो सकता है। परिमाण, संख्याओं के विपरीत थे, जो एक मान से दूसरे मान में उछल रहे थे, जैसे 4 से 5 पर.^[12] संख्याएं कुछ न्यूनतम, अविभाज्य इकाई से बनी होती हैं, जबकि परिमाण अपरिमित रूप से कम करने योग्य हैं। क्योंकि परिमाण के लिए कोई मात्रात्मक मूल्यों को नहीं सौंपा गया था, इसलिए युडोक्सस, सम्मेय और असम्मेय, दोनों अनुपातों की गणना करने में सक्षम हुआ जिसके लिए उसने एक अनुपात को उसके परिमाण और समानुपात के मामले में दोनों अनुपातों के बीच एक समानता के रूप में परिभाषित किया। समीकरण से मात्रात्मक मानों (संख्या) को बाहर लेते हुए, उसने एक अपरिमेय संख्या को एक संख्या के रूप में व्यक्त करने के जाल से खुद को बचाया. "युडोक्सस सिद्धांत ने असम्मेय अनुपातों के लिए आवश्यक परिमेय आधार प्रदान करते हुए यूनानी गणितज्ञों को ज्यामिति में अभूतपूर्व प्रगति करने में सक्षम बनाया."^[13] यूक्लिड की एलिमेंट्स पुस्तक 10, अपरिमेय परिमाण के वर्गीकरण को समर्पित है।

मध्य युगसंपादित करें

मध्य युग में, अरब गणितज्ञों द्वारा बीजगणित के विकास ने अपरिमेय संख्याओं को "बीजीय वस्तुओं" के रूप में प्रयोग करने की अनुमति दी। ^[14] अरब गणितज्ञों ने, "संख्या" और "परिमाण" की अवधारणा को "वास्तविक संख्या" की एक अधिक सामान्य धारणा में विलय भी किया, यूक्लिड के अनुपात की अवधारणा की आलोचना की, समग्र अनुपात के सिद्धांत का विकास किया और संख्या की अवधारणा को सतत परिमाण के अनुपात तक विस्तारित किया।^[15] एलिमेंट्स की पुस्तक 10 पर अपनी टिप्पणी में फारसी गणितज्ञ अल महनी (d. 874/884) ने द्विघात अपरिमेय और घन अपरिमेय की जांच की और उनका वर्गीकरण किया। उसने परिमेय और अपरिमेय परिमाण के लिए परिभाषा प्रदान की, जिसे वह अपरिमेय संख्या के रूप में मानता था। उसने उनका इस्तेमाल मुक्त रूप से किया लेकिन उनकी व्याख्या ज्यामितीय शब्दों में की जो निम्नानुसार है:^[16]

"It will be a rational (magnitude) when we, for instance, say 10, 12, 3%, 6%, etc., because its value is pronounced and expressed quantitatively. What is not rational is irrational and it is impossible to pronounce and represent its value quantitatively. For example: the roots of numbers such as 10, 15, 20 which are not squares, the sides of numbers which are not cubes etc."

रेखाओं के रूप में परिमाण की यूक्लिड की अवधारणा के विपरीत, अल-महनी ने पूर्णांक और भिन्न को परिमेय परिमाण के रूप में माना और वर्ग मूल और घन मूल को अपरिमेय परिमाण के रूप में. उसने अपरिमेयता की अवधारणा के लिए एक अंकगणितीय दृष्टिकोण भी पेश किया, जैसा की वह निम्नलिखित का श्रेय अपरिमेय परिमाण को देता है:^[16]

"their sums or differences, or results of their addition to a rational magnitude, or results of subtracting a magnitude of this kind from an irrational one, or of a rational magnitude from it."

मिस्र का गणितज्ञ अबू कामिल शुजा इब्न असलम (c. 850-930) प्रथम व्यक्ति था जिसने अपरिमेय संख्याओं को द्विघात समीकरण के समाधान के रूप में या एक समीकरण में गुणांक के रूप में स्वीकार किया, जो अक्सर वर्ग मूल, घन मूल और चौथे मूल के स्वरूप में होता था।^[17] दसवीं शताब्दी में, इराकी गणितज्ञ अल-हाशिमी ने गुणन, भाग और अन्य अंकगणितीय क्रियाओं पर विचार करने की प्रक्रिया में अपरिमेय संख्याओं के लिए सामान्य (ज्यामितीय प्रदर्शनों के बजाय) सबूत प्रदान किये। ^[18] अबू ज़फर अल खज़ीन (900-971), परिमेय और अपरिमेय परिमाण परिभाषा प्रदान करता है, यह कहते हुए कि यदि एक निश्चित राशि है:^[19]

"contained in a certain given magnitude once or many times, then this (given) magnitude corresponds to a rational number. . . . Each time when this (latter) magnitude comprises a half, or a third, or a quarter of the given magnitude (of the unit), or, compared with (the unit), comprises three, five, or three fifths, it is a rational magnitude. And, in general, each magnitude that corresponds to this magnitude (i.e. to the unit), as one number to another, is rational. If, however, a magnitude cannot be represented as a multiple, a part (l/n), or parts (m/n) of a given magnitude, it is irrational, i.e. it cannot be expressed other than by means of roots."

इन अवधारणाओं को फलस्वरूप 12वीं सदी के लैटिन अनुवाद के कुछ समय बाद यूरोपीय गणितज्ञों द्वारा स्वीकार कर लिया गया। 12वीं सदी के दौरान मघरेब (उत्तरी अफ्रीका) का एक अरबी गणितज्ञ, अल हस्सार जो इस्लामिक उत्तराधिकार न्यायशास्त्र में विशेषज्ञ था, उसने भिन्न के लिए आधुनिक प्रतीकात्मक गणितीय अंकन विकसित किया, जहां गणक और हर को एक क्षैतिज रोध द्वारा पृथक किया जाता है। यही समान भिन्नात्मक संकेतन शीघ्र ही 13वीं सदी में फिबोनैकी के कार्यों में प्रकट होता है।^{[कृपया उद्धरण जोड़ें]} 14वीं से 16वीं शताब्दी के दौरान, संगमग्राम के माधव और खगोल विज्ञान और गणित के केरल स्कूल ने अपरिमेय संख्याओं के लिए अनंत श्रृंखला की खोज की जैसे pi और त्रिकोणमितीय क्रियाओं के कुछ विशिष्ट अपरिमेय मानों की। ज्येष्ठदेव ने युक्तिभाषा में इन अनंत श्रृंखलाओं के लिए प्रमाण उपलब्ध कराए हैं।^[20]

आधुनिक कालसंपादित करें

17वीं सदी ने, अब्राहम डे मूवर और विशेष रूप से लिओनार्ड युलर के हाथों में काल्पनिक संख्याओं को एक शक्तिशाली उपकरण बनते देखा. उन्नीसवीं शताब्दी में जटिल संख्याओं के सिद्धांत के पूर्ण होने के लिए अपरिमेय का बीजीय और अबीजीय संख्या में विभेदन, अबीजीय संख्या के अस्तित्व का सबूत और अपरिमेय सिद्धांत के वैज्ञानिक अध्ययन का पुनरुत्थान आवश्यक था जिसकी यूक्लिड के बाद से बड़े पैमाने पर उपेक्षा की गई। वर्ष 1872 में कई लोगों ने सिद्धांतों का प्रकाशन किया जिनमें शामिल थे कार्ल विअरस्ट्रास (उनके छात्र कोज़ाक द्वारा), हेन (क्रेल, 74), जोर्ज कैंटर (अन्नालेन, 5) और रिचर्ड डेडेकिंड. 1869 में मेराय ने हेन के समान ही प्रस्थान के समान बिंदु को लिया, लेकिन इस सिद्धांत को आमतौर पर वर्ष 1872 से उद्धृत किया जाता है। विअरस्ट्रास की विधि को 1880 में पूरी तरह से सेल्वाटोर पिंचरले द्वारा आगे बढ़ाया गया,^[21] और डेडेकिंड की विधि को लेखक के बाद के कार्यों (1888) और पॉल टेनरी (1894) के समर्थन के माध्यम से अतिरिक्त महत्व प्राप्त हुआ। विअरस्ट्रास, कैंटर और हेन ने अपने सिद्धांतों को अनंत शृंखला पर आधारित किया, जबकि डेडेकिंड ने अपने आधारों को वास्तविक संख्या की प्रणाली में एक कटौती (श्निट) की धारणा पर रखा, जिसके तहत उसने सभी परिमेय संख्याओं को विशेष गुणों के आधार पर दो समूहों में विभाजित किया। इस विषय के विकास में बाद में विअरस्ट्रास, क्रोनेकर (क्रेल, 101) और मेराय ने योगदान दिया।

सतत भिन्न, जो अपरिमेय संख्याओं (और केटाल्डी, 1613 के कारण) से नज़दीकी रूप से सम्बंधित हैं उसे युलर के हाथों प्रचार प्राप्त हुआ और उन्नीसवीं शताब्दी की शुरुआत में लग्रांग के लेखन के माध्यम से अधिक उभरा. डिरीचलेट ने भी सामान्य सिद्धांत में अपना योगदान दिया, जैसा कि कई अन्य योगदानकर्ताओं ने इस विषय के अनुप्रयोग के लिए दिया।

लैम्बर्ट (1761) ने साबित किया कि π परिमेय नहीं हो सकता और कहा कि e ⁿतब अपरिमेय होगा जब यदि n परिमेय है (जब तक कि n = 0 ना हो).^[22] जबकि लैम्बर्ट के सबूत को अक्सर अधूरा कहा जाता है, आधुनिक आकलन इसे संतोषजनक कह कर समर्थन देता है और वास्तव में अपने समय के लिए यह असामान्य रूप से कठोर है। लीजेंडर (1794) ने, बेसेल-क्लिफर्ड क्रिया पेश करने के बाद, यह दर्शाने के लिए सबूत प्रदान किया π² अपरिमेय है, जिस कारण से तुरंत यह बात आती है कि π भी अपरिमेय है। अबीजीय संख्या का अस्तित्व सर्वप्रथम लिओविले द्वारा स्थापित किया गया था (1844, 1851). बाद में, जोर्ज कैंटर (1873) ने एक भिन्न तरीके से उनके अस्तित्व को साबित कर दिया, जिसमें दर्शाया गया कि वास्तविक में हर अंतराल में अबीजीय संख्या शामिल होती है। चार्ल्स हर्मिट (1873) ने सबसे पहले e अबीजीय को साबित किया और फर्डिनेंड वॉन लिंडेमन (1882) ने हर्मिट के निष्कर्ष से शुरू करते हुए, π के लिए यही दर्शाया. लिंडेमन का सबूत विअरस्ट्रास (1885) द्वारा काफी सरलीकृत किया गया, बाद में डेविड हिल्बर्ट (1893) द्वारा और अंत में एडॉल्फ हुर्वित्ज़ और पॉल अल्बर्ट गोर्डन द्वारा प्राथमिक बनाया गया।

प्रमाण स्वरूप उदाहरणसंपादित करें

वर्ग मूलसंपादित करें

2 का वर्ग मूल वह पहली संख्या थी जिसे अपरिमेय साबित किया गया और उस लेख में कई सबूत शामिल हैं। सुनहरा अनुपात, अगला सबसे प्रसिद्ध द्विघात अपरिमेय है और उसके लेख में उसकी अपरिमेयता का एक सरल सबूत है। सभी गैर-वर्ग प्राकृतिक संख्या का वर्ग मूल, अपरिमेय है और द्विघात अपरिमेय में एक प्रमाण देखा जा सकता है।

2 के वर्गमूल की अपरिमेयता उसे परिमेय मानते हुए और एक विरोधाभास का निष्कर्ष निकालते हुए सिद्ध की जा सकती है, जिसे रिडक्शियो एड एब्सर्डम द्वारा एक तर्क कहा जाता है। निम्नलिखित तर्क इस तथ्य से दो बार अपील करता है कि एक विषम पूर्णांक का वर्ग हमेशा विषम होता है।

यदि √2 परिमेय है, तो पूर्णांक m,n के लिए इसका रूप m/n है, जहां दोनों सम नहीं हैं। फिर m ² = 2n ², इसलिए m सम है, कह लीजिये कि m = 2p . इस प्रकार 4p ² = 2n ² इसलिए 2p ² = n ² इसलिए n भी सम है, जो एक विरोधाभास है।

सामान्य वर्गसंपादित करें

दो के वर्गमूल के लिए उपर्युक्त सबूत को अंकगणित के मौलिक प्रमेय के उपयोग द्वारा सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसे 1798 में गॉस द्वारा साबित किया गया था। इससे यह बल मिलता है कि हर पूर्णांक का अभाज्य में अद्वितीय गुणनखंडन होता है। इसका इस्तेमाल करते हुए हम यह दिखा सकते हैं कि यदि एक परिमेय संख्या एक पूर्णांक नहीं है तो उसका कोई अभिन्न घात एक पूर्णांक नहीं हो सकता है, क्योंकि अपने न्यूनतम पद में हर में एक गुणनखंड होना चाहिए जो गणक से विभाजित नहीं होता चाहे दोनों ही किसी भी घात तक बढ़ा दिए जाएं. इसलिए अगर एक पूर्णांक, एक अन्य पूर्णांक का सटीक k ^वां घात नहीं है तो उसका k ^वां वर्ग अपरिमेय है।

लघुगणकसंपादित करें

वे संख्याएं जिन्हें सबसे आसानी से अपरिमेय साबित किया जाता है वे शायद कुछ ख़ास लघुगणक है। यहां रिडक्शियो एड एब्सर्डम द्वारा एक सबूत है कि log₂ 3 अपरिमेय है। ध्यान दें कि log₂ 3 ≈ 1.58> 0.

मान लीजिये कि log₂ 3 परिमेय है। कुछ धनात्मक पूर्णांक m और n के लिए, हमारे पास है

\log _{2}3={\frac {m}{n}}

इसका मतलब है कि

2^{m/n}=3\,

(2^{m/n})^{n}=3^{n}\,

2^{m}=3^{n}\,

हालांकि, संख्या 2 जिसे किसी भी धनात्मक पूर्णांक घात में बढ़ाया गया हो उसे सम होना चाहिए (क्योंकि वह 2 से विभाज्य होगा) और संख्या 3 को जिसे किसी भी धनात्मक पूर्णांक घात में बढ़ाया गया हो उसे विषम होना चाहिए (क्योंकि उसका कोई भी अभाज्य गुणनखंड 2 नहीं होगा). जाहिर है, एक पूर्णांक एक ही समय में सम और विषम, दोनों नहीं हो सकता: हमारे पास एक विरोधाभास है। जो एकमात्र अनुमान हमने लगाया था वह था कि log₂ 3 परिमेय है (और इसलिए पूर्णांक m /n के एक भागफल के रूप में व्यक्त होने में सक्षम है जहां n ≠ 0 है). विरोधाभास का मतलब है कि यह धारणा ज़रूर गलत होगी, यानी log₂ 3 अपरिमेय है और इसे कभी भी पूर्णांक m /n के एक भागफल के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है जहां n ≠ 0 है।

log₁₀ 2 जैसे मामलों के साथ भी इसी तरह का व्यवहार किया जा सकता है।

अबीजीय और बीजीय अपरिमेयसंपादित करें

लगभग सभी अपरिमेय संख्याएं अबीजीय हैं और सभी अबीजीय संख्याएं अपरिमेय हैं: अबीजीय संख्या वाला लेख कई उदाहरणों को सूचीबद्ध करता है। e ^rऔर π^rअपरिमेय हैं अगर r ≠ 0 परिमेय है; e ^π अपरिमेय है।

अपरिमेय संख्या को निर्मित करने का दूसरा तरीका है अपरिमेय बीजीय संख्या के रूप में निर्माण, यानी पूर्णांक गुणांक के साथ बहुपद के शून्य के रूप में: बहुपद समीकरण के साथ शुरू कीजिये

p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0\,

जहां गुणांक a _iपूर्णांक हैं। मान लीजिए आप जानते हैं कि कुछ वास्तविक संख्याएं x मौजूद हैं जहां p (x) = 0 (उदाहरण के लिए यदि n विषम है और a _nगैर-शून्य है, तब मध्यवर्ती प्रमेय मान की वजह से). इस बहुपद समीकरण का एकमात्र संभावित परिमेय मूल r /s स्वरूप में होगा जहां r, a ₀ का एक भाजक है और s, a _nका एक भाजक है; ऐसे केवल सीमित उम्मीदवार हैं जिसे आप सिर्फ हाथों से जांच सकते हैं। अगर उनमें से कोई भी p का मूल नहीं है, तो x ज़रूर अपरिमेय होना चाहिए। उदाहरण के लिए, इस तकनीक का इस्तेमाल यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि x = (2^1/2 + 1)^1/3 अपरिमेय है: हमारे पास है (x ³ - 1)² = 2 और इसलिए x ⁶ - 2x ³ - 1 = 0 और इस बाद वाले बहुपद में कोई परिमेय मूल नहीं है (जांच करने के लिए एकमात्र उम्मीदवार हैं ± 1).

क्योंकि बीजीय संख्या एक क्षेत्र गठित करते हैं, कई अपरिमेय संख्याओं को बीजीय और अबीजीय संख्याओं के संयोजन द्वारा निर्मित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए 3π + 2, π + √2 और e √3 अपरिमेय हैं (और यहां तक कि अबीजीय).

दशमलव विस्तारसंपादित करें

एक अपरिमेय संख्या का दशमलव विस्तार, एक परिमेय संख्या के विपरीत कभी दोहराता या समाप्त नहीं होता।

यह दर्शाने के लिए, मान लीजिये हम n पूर्णांक को m द्वारा भाग देते हैं (जहां m गैर-शून्य है). जब m द्वारा n के भाग पर दीर्घ भाग को लागू किया जाता है, तो केवल m शेषफल संभव होते हैं। यदि 0 एक शेषफल के रूप में प्रकट होता है, तो दशमलव विस्तार समाप्त हो जाता है। यदि 0 कभी प्रकट नहीं होता तो वह एल्गोरिथ्म, किसी भी शेषफल को एक बार से अधिक उपयोग ना करते हुए अधिक से अधिक m - 1 चरण चल सकता है। उसके बाद, एक शेषफल की पुनरावृत्ति होनी ही चाहिए और तब दशमलव विस्तार दोहराता है।

इसके विपरीत, मान लीजिये हमारे सामने एक आवर्ती दशमलव आता है, तो हम सिद्ध कर सकते हैं कि वह दो पूर्णांकों का भिन्न है। उदाहरण के लिए:

A=0.7\,162\,162\,162\,\dots .

यहां रेपिटेंड की लंबाई 3 है। हम 10³ से गुणा करते हैं:

1000A=7\,16.2\,162\,162\,\dots .

ध्यान दें कि जब हमने 10 के घाते दोहराए जाने वाले भाग की लंबाई से गुणा किया, तो हमने अंकों को दशमलव बिंदु के बाईं ओर ठीक उतने ही स्थानों से स्थानांतरित किया। इसलिए, 1000A का पिछला सिरा बिल्कुल A के पिछले सिरे से मेल खाता है। यहां, दोनों 1000A और A के सिरे में 162 दोहराव है।

इसलिए, जब हम दोनों पक्षों से A को घटाते हैं, तो 1000A का पिछला सिरा A के पिछले सिरे से बाहर रद्द हो जाता है:

999A=715.5\,.

फिर

A={\frac {715.5}{999}}={\frac {7155}{9990}}={\frac {135\times 53}{135\times 74}}={\frac {53}{74}},

(7155 और 9990 का महत्तम आम भाजक है 135). वैकल्पिक रूप से, चूंकि 0.5 = 1/2 है, एक व्यक्ति अंश और हर को 2 से गुणा करके भिन्न को साफ़ कर सकता है:

A={\frac {715.5}{999}}={\frac {2\times 715.5}{2\times 999}}={\frac {1431}{1998}}={\frac {27\times 53}{27\times 74}}={\frac {53}{74}}

(1431 और 1998 का महत्तम आम भाजक है 27).

अंतिम पंक्ति, 53/74, पूर्णांकों का एक भागफल है और इसलिए एक परिमेय संख्या है।

विविधसंपादित करें

यहां एक प्रसिद्ध शुद्ध अस्तित्व या गैर-रचनात्मक प्रमाण है:

वहां दो अपरिमेय संख्याएं a और b मौजूद हैं, इस प्रकार कि a ^bपरिमेय है। वास्तव में, अगर √2^√2 परिमेय है, तब मानिये कि a = b = √2. अन्यथा, मान लीजिये कि a अपरिमेय संख्या √2^√2 है और b = √2. तो फिर a ^b= (√2^√2)^√2 = 2^√2·√2 = √2² = 2 जो परिमेय है।

हालांकि उपर्युक्त दलील दोनों मामलों के बीच निर्णय नहीं करती, गेल्फोंड-श्नाईडर प्रमेय का तात्पर्य है कि √2^√² अबीजीय है, इसलिए अपरिमेय है।

मुक्त प्रश्न -

यह ज्ञात नहीं है कि क्या π + e अथवा π - e अपरिमेय है या नहीं। वास्तव में, वहां गैर-शून्य पूर्णांक m और n का कोई युग्म नहीं है जिसके बारे में यह ज्ञात हो कि क्या m π + ne अपरिमेय है या नहीं। इसके अलावा, यह ज्ञात नहीं है कि सेट (π, e) Q पर बीजगणित के अनुसार स्वतंत्र है या नहीं।

यह ज्ञात नहीं है कि क्या 2^e, π^e, π^√2, कातालान निरंतर, या युलर-मेश्चेरोनी गामा निरंतर γ अपरिमेय हैं या नहीं।

सभी अपरिमेय का सेट

चूंकि वास्तविक एक अगणनीय सेट का गठन करते हैं, जिनमें से परिमेय एक गणनीय सबसेट होते हैं, अपरिमेय का पूरक सेट अगणनीय है।

सामान्य (इयूक्लिडियन) सुदूर क्रिया d (x, y) = |x - y |, वास्तविक संख्या एक मीट्रिक स्पेस है और इसलिए एक सांस्थितिकीय स्पेस भी है। इयूक्लिडियन सुदूर क्रिया को सीमित करने से अपरिमेय को एक मीट्रिक स्पेस की संरचना मिलती है। चूंकि अपरिमेय का उपस्पेस बंद नहीं है, उत्प्रेरित मीट्रिक पूर्ण नहीं है। हालांकि, एक पूर्ण मीट्रिक स्थान में G-डेल्टा सेट होते हुए - अर्थात् खुले सबसेट का एक गणनीय प्रतिच्छेदन - अपरिमेय का स्थान सांस्थितिकी रूप से पूर्ण है: अर्थात, अपरिमेय पर एक मीट्रिक है जो ठीक वैसी ही सांस्थितिकी को उत्प्रेरित करता है जैसा कि इयूक्लिडियन मीट्रिक का प्रतिबंध करता है, लेकिन जिसके संबंध में अपरिमेय पूर्ण हैं। एक व्यक्ति G-डेल्टा सेट के बारे में ऊपर उल्लिखित तथ्य से अनभिज्ञ रहते भी इसे देख सकता है: एक अपरिमेय संख्या का सतत भिन्न विस्तार, अपरिमेय के स्थान से सभी धनात्मक पूर्णांक के स्थान तक एक होमिओमोर्फिज़म को परिभाषित करता है, जिसे आसानी से पूर्ण रूप से मेट्रिक योग्य देखा जाता है।

इसके अलावा, सभी अपरिमेय के सेट, कटे हुए एक मेट्रिक-योग्य स्थान हैं। वास्तव में, अपरिमेय में क्लोपेन सेट का आधार होता है इसलिए स्थान शून्य-आयामी होता है।

== इन्हें भी देखें ==√8

- जो एक अपरिमेय संख्या है,

e भी एक अपरिमेय संख्या है
२ का वर्गमूल
3 का वर्गमूल
n वां मूल

सन्दर्भ

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[1] साँचा:Harvrefcol. ISBN 978-0-486-60045-1

[2] The 15 Most Famous Transcendental Numbers Archived 2007-10-24 at the Wayback Machine. क्लिफर्ड ए. पिकोवर द्वारा URL 24 अक्टूबर 2007 को पुनः प्राप्त.

[3] ; http://www.mathsisfun.com/irrational-numbers.html Archived 2010-08-29 at the Wayback Machine URL पुनः प्राप्त 24 अक्टूबर 2007.

[4] एरिक डब्ल्यू वेइसटीन, मैथवर्ल्ड पर Irrational Number यूआरएल पुनः प्राप्त 26 अक्टूबर 2007.

[5] टीके पुट्टास्वामी, "प्राचीन भारतीय गणितज्ञों की उपलब्धियां", pp. 411-2 Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan (2000). Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics. Springer. आई॰ऍस॰बी॰ऍन॰ 1402002602. .

[6] Kurt Von Fritz (1945). "The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum". The Annals of Mathematics.

[7] James R. Choike (1980). "The Pentagram and the Discovery of an Irrational Number". The Two-Year College Mathematics Journal.

[8] क्लाइन, एम. (1990). मेथेमेटिकल थोट्स फ्रॉम एन्शिएन्ट टु मॉडर्न टाइम्स. 1. न्यूयॉर्क: ऑक्सफोर्ड विश्वविद्यालय प्रेस. (मूल कृति 1972 में प्रकाशित). p.33.

[9] क्लाइन 1990, p. 32.

[10] Robert L. McCabe (1976). "Theodorus' Irrationality Proofs". Mathematics Magazine. .

[11] Charles H. Edwards (1982). The historical development of the calculus. Springer.

[12] क्लाइन 1990, p.48.

[13] क्लाइन 1990, p.49.

[14] ओ'कॉनर, जॉन; रॉबर्टसन, एडमण्ड, "Arabic mathematics: forgotten brilliance?", मैक्ट्यूटर हिस्ट्री ऑफ़ मैथेमैटिक्स, युनिवर्सिटी ऑफ़ सैंट एण्ड्रूज़. .

[15] Matvievskaya, Galina (1987). "The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics". Annals of the New York Academy of Sciences. 500: 253–277 [254]. डीओआइ:10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x. .

[Matvievskaya-259-16] अ ^आ Matvievskaya, Galina (1987). "The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics". Annals of the New York Academy of Sciences. 500: 253–277 [259]. डीओआइ:10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x.

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[katz-20] कैट्ज़, वीजे (1995), "इस्लाम और भारत में कलन का विचार", मैथेमेटिक्स मैग्ज़ीन (मेथेमेटिकल एसोसिएशन ऑफ़ अमेरिका) 68 (3): 163-74.

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[22] J. H. Lambert (1761). "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques". Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres der Berlin: 265–276.

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रविवार, 7 नवंबर 2021

महत्तम समापवर्तक- और लघुत्तम समापवर्त्य" में अन्तर"

(2–★भाग विधि - इस विधि को निम्न उदाहरण द्वारा समझा जा सकता है ।)

अंश-

शब्दावली-

"भिन्नो के रूप"-

सरल, सामान्य, या अनुचित अंश -

'उचित और अनुचित भिन्न"

(पारस्पापरिक और अदृश्य भाजक)

"अनुपात-

(दशमलव भिन्न और प्रतिशत)

(मिश्रित संख्या–

ऐतिहासिक धारणाएं संऐतिहासिक धारणायऐं:

मिस्र का अंश संपादित करें

जटिल और यौगिक अंशसंपादित करें

अंशों के साथ अंकगणित +

समतुल्य भागसंपादित करें

भिन्नों का सरलीकरण (घटाना)संपादित करें

भिन्नों की तुलना करनासंपादित करें

योगसंपादित करें

विषम मात्राओं को जोड़नासंपादित करें

घटावसंपादित करें

गुणासंपादित करें

एक भिन्न को दूसरे भिन्न से गुणा करनासंपादित करें

किसी भिन्न को पूर्ण संख्या से गुणा करनासंपादित करें

मिश्रित संख्याओं को गुणा करनासंपादित करें

विभाजनसंपादित करें

दशमलव और भिन्नों के बीच कनवर्ट करनासंपादित करें

आवर्ती दशमलवों को भिन्नों में बदलनासंपादित करें

अमूर्त गणित में भिन्नसंपादित करें

बीजीय भिन्नसंपादित करें

कट्टरपंथी अभिव्यक्तिसंपादित करें

टंकण संबंधी विविधताएंसंपादित करें

इतिहाससंपादित करें

अनौपचारिक शिक्षासंपादित करें

शैक्षणिक उपकरणसंपादित करें

शिक्षकों के लिए दस्तावेज-

अपरिमेय संख्या

इतिहाससंपादित करें

मध्य युगसंपादित करें

आधुनिक कालसंपादित करें

प्रमाण स्वरूप उदाहरणसंपादित करें

वर्ग मूलसंपादित करें

सामान्य वर्गसंपादित करें

लघुगणकसंपादित करें

अबीजीय और बीजीय अपरिमेयसंपादित करें

दशमलव विस्तारसंपादित करें

विविधसंपादित करें

मुक्त प्रश्न -

सभी अपरिमेय का सेट

सन्दर्भ

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